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(a) Ache as coordenadas de um vetor arbitrário em relação a base .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base no espaço e queremos encontrar as coordenadas de um vetor arbitrário em relação a essa base. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente mudança de base e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, sabemos que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Passo 3
Vamos expressar isso em termos das componentes do vetor . Isso nos dá duas equações:
Ou seja, temos o sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar e . Podemos usar o método de eliminação. Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Passo 5
Somando as duas equações:
Passo 6
Agora, substituímos na primeira equação original para encontrar :