Considere as as seguintes bases de
12a
(a) Ache as coordenadas de um vetor arbitrário
em relação a base
.
12a
(a) Ache as coordenadas de um vetor arbitrário
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base
no espaço
e queremos encontrar as coordenadas de um vetor arbitrário
em relação a essa base. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente mudança de base e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, sabemos que qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
. Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 3
Vamos expressar isso em termos das componentes do vetor
. Isso nos dá duas equações:
Ou seja, temos o sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Podemos usar o método de eliminação. Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Passo 5
Somando as duas equações:
Passo 6
Agora, substituímos
na primeira equação original para encontrar
:
Resposta
As coordenadas do vetor
em relação à base
são: