Considere as as seguintes bases de R^2
S1=(1,-2),(3,-4), S2=(1,3),(3,8)
12a
(a) Ache as coordenadas de um vetor arbitrário v=(a, b) em R^2 em relação a base S1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base no espaço e queremos encontrar as coordenadas de um vetor arbitrário em relação a essa base. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente mudança de base e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, sabemos que qualquer vetor v = c1 cdot (1, -2) + c2 cdot (3, -4) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 3

Vamos expressar isso em termos das componentes do vetor a = c1 cdot 1 + c2 cdot 3 . Isso nos dá duas equações:
b = c1 cdot (-2) + c2 cdot (-4)
c1 + 3c2 = a -2c1 - 4c2 = b
Ou seja, temos o sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar 2c1 + 6c2 = 2a -2c1 - 4c2 = b e . Podemos usar o método de eliminação. Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:

Passo 5

Somando as duas equações:
(2c1 - 2c1) + (6c2 - 4c2) = 2a + b
2c2 = 2a + b
c2 = 2a + b2 = a + b2

Passo 6

Agora, substituímos c1 + 3(a + b2) = a na primeira equação original para encontrar c1 + 3a + 3b2 = a :
c1 = a - 3a - 3b2
c1 = -2a - 3b2

Resposta

As coordenadas do vetor c1 c2 = -2a - dfrac3b2 a + dfracb2 em relação à base são:

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