(a) ponto O lugar geométrico onde a distância dos seus pontos ao ponto é a metade da distância à reta é uma cônica. Identifique de qual cônica se trata e encontre a sua equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância do ponto igual à metade da distância à reta . Isso envolve conceitos de geometria analítica relacionados às cônicas, especialmente elipses, parábolas e hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre pontos e entre um ponto e uma reta, além de saber identificar qual cônica estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre um ponto e outro ponto, e a distância de um ponto a uma reta.
Distância entre dois pontos e :
Distância de um pontoa uma reta dada pela equação :
Passo 3
O enunciado diz que a distância de qualquer ponto ao ponto é a metade da distância desse ponto à reta . Isso pode ser escrito matematicamente como:
Substituindo as fórmulas de distância que vimos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para identificar a cônica:
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar as frações:
Essa é a equação geral de uma cônica resultante da condição dada.
Passo 5
Agora, vamos identificar qual cônica isso representa. A relação entre as distâncias sugere que estamos lidando com uma elipse, já que o coeficiente de é menor que 1 (precisamos de para uma elipse, onde é a excentricidade).