(a)
ponto
O lugar geométrico onde a distância dos seus pontos ao ponto
é a metade da distância à reta
é uma cônica. Identifique de qual cônica se trata e encontre a sua equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância do ponto
igual à metade da distância à reta
. Isso envolve conceitos de geometria analítica relacionados às cônicas, especialmente elipses, parábolas e hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre pontos e entre um ponto e uma reta, além de saber identificar qual cônica estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre um ponto e outro ponto, e a distância de um ponto a uma reta.
-
Distância entre dois pontos
e : -
Distância de um ponto
a uma reta dada pela equação :
Passo 3
O enunciado diz que a distância de qualquer ponto
ao ponto
é a metade da distância desse ponto à reta
. Isso pode ser escrito matematicamente como:
Substituindo as fórmulas de distância que vimos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para identificar a cônica:
-
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
-
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar as frações:
Essa é a equação geral de uma cônica resultante da condição dada.
Passo 5
Agora, vamos identificar qual cônica isso representa. A relação entre as distâncias sugere que estamos lidando com uma elipse, já que o coeficiente de
é menor que 1 (precisamos de
para uma elipse, onde
é a excentricidade).
Resposta
A cônica é uma elipse, e sua equação é dada por: