(a) ponto O lugar geométrico onde a distância dos seus pontos ao ponto é a metade da distância à reta é uma cônica. Identifique de qual cônica se trata e encontre a sua equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância do ponto igual à metade da distância à reta . Isso envolve conceitos de geometria analítica relacionados às cônicas, especialmente elipses, parábolas e hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre pontos e entre um ponto e uma reta, além de saber identificar qual cônica estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre um ponto e outro ponto, e a distância de um ponto a uma reta.
  1. Distância entre dois pontos e :
  2. Distância de um ponto a uma reta dada pela equação :

Passo 3

O enunciado diz que a distância de qualquer ponto ao ponto é a metade da distância desse ponto à reta . Isso pode ser escrito matematicamente como:
Substituindo as fórmulas de distância que vimos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para identificar a cônica:
  1. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
  2. Multiplicamos ambos os lados por para eliminar as frações:
Essa é a equação geral de uma cônica resultante da condição dada.

Passo 5

Agora, vamos identificar qual cônica isso representa. A relação entre as distâncias sugere que estamos lidando com uma elipse, já que o coeficiente de é menor que 1 (precisamos de para uma elipse, onde é a excentricidade).

Resposta

A cônica é uma elipse, e sua equação é dada por:

Exercícios relacionados

Dados os ponto e a reta dada por:
, determine o ponto de interseção da reta com o plano , sabendo que é perpendicular a reta e $A \in s .(2,0 pontos)
(2,0 pontos)Determine a equação do plano que contém as retas a seguir
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas. . i) Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e . ii) Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e .
Dados os vetores e , determine o vetor tal que
(b)