(a) [1,0 ponto ] O lugar geométrico onde a distância dos seus pontos ao ponto A é a metade da distância à reta r é uma cônica. Identifique de qual cônica se trata e encontre a sua equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância do ponto igual à metade da distância à reta . Isso envolve conceitos de geometria analítica relacionados às cônicas, especialmente elipses, parábolas e hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre pontos e entre um ponto e uma reta, além de saber identificar qual cônica estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre um ponto e outro ponto, e a distância de um ponto a uma reta.
  1. Distância entre dois pontos d(P, A) = raiz(x - xa)^2 + (y - ya)^2 e d(P, r) = |Ax + By + C|raizA^2 + B^2 :
  2. Distância de um ponto a uma reta dada pela equação :

Passo 3

O enunciado diz que a distância de qualquer ponto d(P, A) = 12 , d(P, r) ao ponto raiz(x - xa)^2 + (y - ya)^2 = 12 cdot |Ax + By + C|raizA^2 + B^2 é a metade da distância desse ponto à reta . Isso pode ser escrito matematicamente como:
Substituindo as fórmulas de distância que vimos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para identificar a cônica:
  1. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
    (x - xa)^2 + (y - ya)^2 = 14 cdot (Ax + By + C)^2A^2 + B^2
  2. Multiplicamos ambos os lados por 4(A^2 + B^2)[(x - xa)^2 + (y - ya)^2] = (Ax + By + C)^2 para eliminar as frações:
Essa é a equação geral de uma cônica resultante da condição dada.

Passo 5

Agora, vamos identificar qual cônica isso representa. A relação entre as distâncias sugere que estamos lidando com uma elipse, já que o coeficiente de é menor que 1 (precisamos de para uma elipse, onde é a excentricidade).

Resposta

A cônica é uma elipse, e sua equação é dada por:
4(A^2 + B^2)[(x - xa)^2 + (y - ya)^2] = (Ax + By + C)^2

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