Dados os vetores a=(-1,1,2) e b=(2,0,4), determine o vetor v tal que
(b) 2 v3-[2(v+a)-b]=b4-v-a2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, e , e pede para encontrar um vetor que satisfaz uma certa equação envolvendo esses vetores. O conteúdo aqui é Álgebra Vetorial, onde vamos usar operações com vetores e resolver uma equação vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades da adição e multiplicação de vetores, além de resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
2 v3 - [2(v + a) - b] = b4 - v - a2
Vamos começar distribuindo e simplificando os termos dentro dos colchetes.

Passo 3

Distribuindo o 2 dentro do parêntese:
2(v + a) = 2v + 2a
Então, a equação fica:
2 v3 - [2v + 2a - b] = b4 - v - a2

Passo 4

Vamos eliminar os colchetes distribuindo o sinal negativo:
2 v3 - 2v - 2a + b = b4 - v - a2

Passo 5

Agora, vamos juntar os termos semelhantes no lado esquerdo:
(23 v - 2v) + (-2a) + b = b4 - v2 + a2
Simplificando:
(23 - 2) v - 2a + b = b4 - v2 + a2

Passo 6

Calculando -43 v - 2a + b = b4 - v2 + a2 , então:

Passo 7

Vamos trazer todos os termos com -43 v + v2 = b4 - a2 + 2a - b para um lado e os demais para o outro:
-43 v + 12 v = -43 + 12 = -86 + 36 = -56
Simplificando os coeficientes de -56 v = b4 - a2 + 2a - b :
Então:

Passo 8

Agora, simplificamos o lado direito:
b4 - b = 14b - 44b = -34b
E:
-a2 + 2a = -12a + 42a = 32a
Então:
-56 v = 32a - 34b

Passo 9

Para isolar v = -65 ( 32a - 34b ) , multiplicamos ambos os lados por v = -65 cdot 32 a + 65 cdot 34 b :
v = -1810 a + 1820 b = -95 a + 910 b
Distribuindo:
Calculando os coeficientes:

Passo 10

Agora, substituindo v = -95 (-1, 1, 2) + 910 (2, 0, 4) e v = ( 95, -95, -185 ) + ( 1810, 0, 3610 ) pelos seus valores:
v = ( 95 + 95, -95 + 0, -185 + 3610 )
Realizando as multiplicações escalares:
v = ( 185, -95, -185 + 185 ) = ( 185, -95, 0 )
Simplificando as frações:
Convertendo para :

Resposta

O vetor é .

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