(2,0 pontos)Determine a equação do plano que contém as retas a seguir
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica onde queremos encontrar a equação de um plano que contém duas retas dadas, chamadas de e . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar usar vetores diretores das retas e o produto vetorial para encontrar um vetor normal ao plano. Vamo que vamo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . As equações paramétricas das retas são dadas por:
Aqui, e são os parâmetros das retas. O vetor diretor de uma reta é dado pelos coeficientes de ou nas equações paramétricas. Então:
Para a reta , o vetor diretor é .
Para a reta , o vetor diretor é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano . Para isso, vamos usar o produto vetorial entre os vetores diretores e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos, que será o vetor normal ao nosso plano.
Calculando :
Opa! O produto vetorial deu o vetor nulo, o que significa que os vetores diretores e são colineares, ou seja, as retas e estão no mesmo sentido.
Passo 4
Como os vetores diretores são colineares, precisamos de outra abordagem para encontrar o vetor normal ao plano. Vamos pegar um ponto de cada reta e formar um vetor entre eles, que servirá como um segundo vetor no plano.
Vamos escolher na reta , o que nos dá o ponto .
Para a reta , vamos escolher , obtendo o ponto .
Agora, vamos formar o vetor :
Agora, temos dois vetores no plano : e .
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal ao plano:
Passo 6
Agora que temos o vetor normal , podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal , e é um ponto no plano. Vamos usar o ponto :
Passo 7
Vamos simplificar essa equação:
Para deixar com coeficiente positivo, multiplicamos todos os termos por -1: