(2,0 pontos)Determine a equação do plano que contém as retas a seguir
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica onde queremos encontrar a equação de um plano que contém duas retas dadas, chamadas de e . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar usar vetores diretores das retas e o produto vetorial para encontrar um vetor normal ao plano. Vamo que vamo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas l r:l x = -1 + t y = 3 - 2t z = -1 - t s:l x = 3 + 4l y = -8l z = 2 - 4l e 1 -2 -1 . As equações paramétricas das retas são dadas por:
4 -8 -4
Aqui, e são os parâmetros das retas. O vetor diretor de uma reta é dado pelos coeficientes de ou nas equações paramétricas. Então:
Para a reta , o vetor diretor é .
Para a reta , o vetor diretor é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano n = i & j & k 1 & -2 & -1 4 & -8 & -4 . Para isso, vamos usar o produto vetorial entre os vetores diretores n = i cdot [(-2)(-4) - (-1)(-8)] - j cdot [(1)(-4) - (-1)(4)] + k cdot [(1)(-8) - (-2)(4)] e n = i cdot (8 - 8) - j cdot (-4 - (-4)) + k cdot (-8 - (-8)) . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos, que será o vetor normal ao nosso plano.
Calculando n = i cdot 0 - j cdot 0 + k cdot 0 = 0 0 0 :
Opa! O produto vetorial deu o vetor nulo, o que significa que os vetores diretores e são colineares, ou seja, as retas e estão no mesmo sentido.
Passo 4
Como os vetores diretores são colineares, precisamos de outra abordagem para encontrar o vetor normal ao plano. Vamos pegar um ponto de cada reta e formar um vetor entre eles, que servirá como um segundo vetor no plano.
Vamos escolher PQ = Q - P = 3 - (-1) 0 - 3 2 - (-1) = 4 -3 3 na reta 1 -2 -1 , o que nos dá o ponto 4 -3 3 .
Para a reta , vamos escolher , obtendo o ponto .
Agora, vamos formar o vetor :
Agora, temos dois vetores no plano : e .
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal n = u times PQ = i & j & k 1 & -2 & -1 4 & -3 & 3 ao plano:
n = i cdot [(-2)(3) - (-1)(-3)] - j cdot [(1)(3) - (-1)(4)] + k cdot [(1)(-3) - (-2)(4)]
n = i cdot (-6 - 3) - j cdot (3 - (-4)) + k cdot (-3 - (-8))
n = i cdot (-9) - j cdot 7 + k cdot 5 = -9 -7 5
Passo 6
Agora que temos o vetor normal -9 -7 5 , podemos usar a equação geral do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde -9(x + 1) -7(y - 3) +5(z +1) = 0 são as componentes do vetor normal , e é um ponto no plano. Vamos usar o ponto :
Passo 7
Vamos simplificar essa equação:
-9x -9 -7y +21 +5z +5 = 0
-9x -7y +5z +17 = 0
Para deixar com coeficiente positivo, multiplicamos todos os termos por -1:
9x + 7y -5z -17 = 0
Resposta
A equação do plano 9x + 7y -5z -17 = 0 que contém as retas e é: