(2,0 pontos)Determine a equação do plano que contém as retas a seguir

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica onde queremos encontrar a equação de um plano que contém duas retas dadas, chamadas de e . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar usar vetores diretores das retas e o produto vetorial para encontrar um vetor normal ao plano. Vamo que vamo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . As equações paramétricas das retas são dadas por:
Aqui, e são os parâmetros das retas. O vetor diretor de uma reta é dado pelos coeficientes de ou nas equações paramétricas. Então:
  • Para a reta , o vetor diretor é .
  • Para a reta , o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano . Para isso, vamos usar o produto vetorial entre os vetores diretores e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos, que será o vetor normal ao nosso plano.
Calculando :
Opa! O produto vetorial deu o vetor nulo, o que significa que os vetores diretores e são colineares, ou seja, as retas e estão no mesmo sentido.

Passo 4

Como os vetores diretores são colineares, precisamos de outra abordagem para encontrar o vetor normal ao plano. Vamos pegar um ponto de cada reta e formar um vetor entre eles, que servirá como um segundo vetor no plano.
Vamos escolher na reta , o que nos dá o ponto .
Para a reta , vamos escolher , obtendo o ponto .
Agora, vamos formar o vetor :
Agora, temos dois vetores no plano : e .

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal ao plano:

Passo 6

Agora que temos o vetor normal , podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal , e é um ponto no plano. Vamos usar o ponto :

Passo 7

Vamos simplificar essa equação:
Para deixar com coeficiente positivo, multiplicamos todos os termos por -1:

Resposta

A equação do plano que contém as retas e é:

Exercícios relacionados

Considere o plano e faça o que se pede em cada item:
(a) ponto) Faça um esboço do gráfico do plano
Figura 1: ESBOÇO
pontos Dado o plano definido a partir dos pontos , , faça o que se pede em cada item:
(b) pontos)Sabendo que a distância de um ponto ao plano é calculada pela fórmula:
determine a distância do ponto ao plano encontrado na letra a)
Dados os ponto e a reta dada por:
, determine o ponto de interseção da reta com o plano , sabendo que é perpendicular a reta e $A \in s .(2,0 pontos)
(a) ponto O lugar geométrico onde a distância dos seus pontos ao ponto é a metade da distância à reta é uma cônica. Identifique de qual cônica se trata e encontre a sua equação.