As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas. (-1, raiz3). i) Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r>0 e 0 <= theta <= 2 pi. ii) Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r<0 e 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para converter as coordenadas cartesianas de um ponto para as coordenadas polares. A gente vai precisar entender como transformar as coordenadas (x, y) em (r, theta). Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas:
  • Para encontrar r, usamos: r = raizx^2 + y^2
  • Para encontrar theta, usamos a função tangente: theta = arctan(yx)
Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas cartesianas do ponto dado: (-1, raiz3). Aqui, x = -1 e y = raiz3.

Passo 3

Vamos calcular r usando a fórmula:
r = raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = raiz4 = 2
Então, r = 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar theta. Primeiro, calculamos a tangente:
arctan(raiz3-1) = arctan(-raiz3)
Sabemos que arctan(raiz3) = pi3, mas como o x é negativo e o y é positivo, o ponto está no segundo quadrante. Portanto:
theta = pi - pi3 = 2pi3

Passo 5

Agora, para a parte ii), onde queremos as coordenadas polares com r < 0, usamos a mesma magnitude para r mas adicionamos pi a theta para ajustar a direção.
Então:
r = -2
theta = 2pi3 + pi = 5pi3
Como 5pi3 já está entre 0 e 2pi, não precisamos ajustar mais nada.

Resposta

i) Coordenadas polares com r > 0 e 0 <= theta <= 2pi:
(r, theta) = (2, 2pi3)
ii) Coordenadas polares com r < 0 e 0 <= theta <= 2pi:
(r, theta) = (-2, 5pi3)

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