As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas. . i) Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e . ii) Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para converter as coordenadas cartesianas de um ponto para as coordenadas polares. A gente vai precisar entender como transformar as coordenadas em . Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas:
  • Para encontrar , usamos:
  • Para encontrar , usamos a função tangente:
Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas cartesianas do ponto dado: . Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular usando a fórmula:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Primeiro, calculamos a tangente:
Sabemos que , mas como o é negativo e o é positivo, o ponto está no segundo quadrante. Portanto:

Passo 5

Agora, para a parte ii), onde queremos as coordenadas polares com , usamos a mesma magnitude para mas adicionamos a para ajustar a direção.
Então:
Como já está entre e , não precisamos ajustar mais nada.

Resposta

i) Coordenadas polares com e :
ii) Coordenadas polares com e :

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(b)
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