Dados os ponto A(3,4,-2) e a reta r dada por:
r:l x=1+t y=2-t z=4+2 t
, determine o ponto de interseção da reta s com o plano pi: x+y+z+1=0, sabendo que s é perpendicular a reta r e $A \in s .(2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o ponto r:l x=1+t y=2-t z=4+2 t e uma reta definida pelas equações paramétricas:
Queremos encontrar o ponto onde a reta , que passa pelo ponto e é perpendicular à reta , intercepta o plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e equações de retas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta dr = 1 -1 2 . Nas equações paramétricas de uma reta, os coeficientes que acompanham o parâmetro dão o vetor diretor. Então, para :
Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando.

Passo 3

Como a reta dr cdot ds = 0 é perpendicular à reta a b c , o vetor diretor de 1 cdot a + (-1) cdot b + 2 cdot c = 0 implies a - b + 2c = 0 , que vamos chamar de , deve ser perpendicular a . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero:
Vamos chamar , então:
Essa é a condição que precisamos para os componentes de .

Passo 4

Agora, sabemos que a reta s:l x = 3 + a t y = 4 + b t z = -2 + c t passa pelo ponto a b c . Podemos escrever a equação paramétrica de da seguinte forma:
Onde é o parâmetro e é o vetor diretor que precisamos determinar.

Passo 5

Além disso, a reta (3 + a t) + (4 + b t) + (-2 + c t) + 1 = 0 intercepta o plano 3 + a t + 4 + b t - 2 + c t + 1 = 0 implies (a + b + c) t + 6 = 0 . Para encontrar o ponto de interseção, substituímos as equações paramétricas de t = -6a + b + c na equação do plano:
Simplificando:
Então:

Passo 6

Agora, precisamos determinar os valores de a - b + 2c = 0 , a - b + 2(1) = 0 implies a - b = -2 e 0 - b = -2 implies b = 2 . Lembrando a condição de perpendicularidade:
ds = 0 2 1
Como temos três variáveis e uma equação, podemos assumir um valor para uma das variáveis para encontrar os outros componentes. Vamos assumir :
Podemos escolher , então:
Assim, o vetor diretor de é:

Passo 7

Com t = -60 + 2 + 1 = -63 = -2 , x = 3 + 0 cdot (-2) = 3 e y = 4 + 2 cdot (-2) = 0 , podemos encontrar o parâmetro z = -2 + 1 cdot (-2) = -4 :
Agora, substituímos nas equações paramétricas de para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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