[1 ponto] Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral
e mostrar que ela é igual a
. Esse problema está relacionado a integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de integração e talvez algumas substituições para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a função
é par, ou seja,
. Isso nos permite simplificar a integral de
a
para
vezes a integral de
a
:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
, então
ou
. Substituindo na integral:
No entanto, essa substituição não simplifica muito, então vamos tentar outra abordagem usando a fórmula de integração de funções racionais.
Passo 4
Sabemos que a integral
pode ser resolvida usando a fórmula:
No nosso caso, queremos adaptar essa fórmula para nossa integral.
Passo 5
No nosso problema, a integral que queremos resolver é:
Aqui, temos
e
, então
. Aplicando a fórmula:
Passo 6
Vamos calcular o seno:
Substituindo na expressão:
Passo 7
Lembrando que a nossa integral original era o dobro dessa:
Resposta
Exercícios relacionados
Em cada caso encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado:
Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência/divergência das séries:
[1.5 pontos] Determine todas as raízes:
pontos
.
[1.5 pontos] Dada uma função
analítica numa região
, considere as seguintes famílias
e
de curvas no plano, parametrizadas por
e
, da seguinte forma:
Prove que em cada ponto
, onde
, essas curvas se cruzam ortogonalmente.