[1 ponto] Mostre que integral-infty^infty x^21+x^4 d x=piraiz2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral e mostrar que ela é igual a . Esse problema está relacionado a integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de integração e talvez algumas substituições para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a função integral-infty^infty x^21+x^4 dx = 2 integral0^infty x^21+x^4 dx é par, ou seja, . Isso nos permite simplificar a integral de a para vezes a integral de a :

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar 2 integral0^infty x^21+x^4 dx = 2 integral0^infty u1+u^2 cdot du2raizu = integral0^infty raizu1+u^2 du , então ou . Substituindo na integral:
No entanto, essa substituição não simplifica muito, então vamos tentar outra abordagem usando a fórmula de integração de funções racionais.

Passo 4

Sabemos que a integral integral0^infty x^n-11+x^m dx = pim sin(n pim) pode ser resolvida usando a fórmula:
No nosso caso, queremos adaptar essa fórmula para nossa integral.

Passo 5

No nosso problema, a integral que queremos resolver é:
integral0^infty x^21+x^4 dx
Aqui, temos integral0^infty x^21+x^4 dx = pi4 sin(3pi4) e , então . Aplicando a fórmula:

Passo 6

Vamos calcular o seno:
sin(3pi4) = raiz22
Substituindo na expressão:
pi4 cdot raiz22 = pi2raiz2

Passo 7

Lembrando que a nossa integral original era o dobro dessa:
integral-infty^infty x^21+x^4 dx = 2 cdot pi2raiz2 = piraiz2

Resposta

integral-infty^infty x^21+x^4 dx = piraiz2

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