[1 ponto] Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral e mostrar que ela é igual a . Esse problema está relacionado a integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de integração e talvez algumas substituições para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a função é par, ou seja, . Isso nos permite simplificar a integral de a para vezes a integral de a :

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar , então ou . Substituindo na integral:
No entanto, essa substituição não simplifica muito, então vamos tentar outra abordagem usando a fórmula de integração de funções racionais.

Passo 4

Sabemos que a integral pode ser resolvida usando a fórmula:
No nosso caso, queremos adaptar essa fórmula para nossa integral.

Passo 5

No nosso problema, a integral que queremos resolver é:
Aqui, temos e , então . Aplicando a fórmula:

Passo 6

Vamos calcular o seno:
Substituindo na expressão:

Passo 7

Lembrando que a nossa integral original era o dobro dessa:

Resposta

Exercícios relacionados

Em cada caso encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado:
Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência/divergência das séries:
[1.5 pontos] Determine todas as raízes: pontos .
[1.5 pontos] Dada uma função analítica numa região , considere as seguintes famílias e de curvas no plano, parametrizadas por e , da seguinte forma:
Prove que em cada ponto , onde , essas curvas se cruzam ortogonalmente.