Em cada caso encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a expansão de Taylor da função em torno do ponto . Isso significa que vamos aproximar a função por um polinômio que se aproxima de perto de . Para isso, vamos usar a fórmula da série de Taylor e calcular as derivadas da função no ponto .

Passo 2

A fórmula geral da série de Taylor de uma função em torno de é:
Então, vamos calcular as derivadas de até a ordem necessária e substituir na fórmula.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada :
Então,

Passo 5

Calculando a segunda derivada :
Então,

Passo 6

Vamos agora substituir esses valores na série de Taylor:
Simplificando:

Resposta

A expansão de Taylor da função em torno de é:

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Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência/divergência das séries:
Ache o intervalo e o raio de convergência de cada série de potência a seguir:
[1 ponto] Mostre que .
[1.5 pontos] Determine todas as raízes: pontos .