Em cada caso encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a expansão de Taylor da função
em torno do ponto
. Isso significa que vamos aproximar a função por um polinômio que se aproxima de
perto de
. Para isso, vamos usar a fórmula da série de Taylor e calcular as derivadas da função no ponto
.
Passo 2
A fórmula geral da série de Taylor de uma função
em torno de
é:
Então, vamos calcular as derivadas de
até a ordem necessária e substituir na fórmula.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada
:
Então,
Passo 5
Calculando a segunda derivada
:
Então,
Passo 6
Vamos agora substituir esses valores na série de Taylor:
Simplificando:
Resposta
A expansão de Taylor da função
em torno de
é:
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Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência/divergência das séries:
Ache o intervalo e o raio de convergência de cada série de potência a seguir:
[1 ponto] Mostre que
.
[1.5 pontos] Determine todas as raízes:
pontos
.