Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência/divergência das séries: sumn=1^infty n 3^n(n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica da matemática para analisar séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. A gente calcula o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série, ou seja:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge. Se ou é infinito, a série diverge. Se , o teste não dá resposta e precisamos tentar outro método.

Passo 3

Vamos identificar an = n cdot 3^n(n+1)! e an+1 = (n+1) cdot 3^n+1(n+2)! na nossa série. Para a nossa série:
Então,

Passo 4

Agora, vamos formar a razão an+1an = (n+1) cdot 3^n+1(n+2)! cdot (n+1)!n cdot 3^n :
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, calculamos o limite desse valor quando L = limn to infty 3(n+1)n(n+2) = limn to infty 3n + 3n^2 + 2n vai para infinito:
L = limn to infty 3nn^2 + 3n^21 + 2nn^2 = limn to infty 3n + 3n^21 + 2n = 0 + 01 + 0 = 0
Dividindo numerador e denominador por :

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

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