[1.5 pontos] Determine todas as raízes:
pontos
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para determinar todas as raízes da equação
. Isso envolve trabalhar com números complexos e a função logarítmica no contexto dos complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o logaritmo de um número complexo e como encontrar todas as soluções possíveis para a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para números complexos, o logaritmo pode ter múltiplas soluções devido à periodicidade da função exponencial. Em termos matemáticos, se
, então:
onde
é qualquer inteiro (positivo, negativo ou zero), representando as diferentes “voltas” no círculo complexo.
Passo 3
No nosso caso, a equação é
. Vamos comparar isso com a fórmula geral do logaritmo de um número complexo:
Aqui, a parte real do logaritmo
deve ser igual a 0, e a parte imaginária
deve ser igual a
.
Passo 4
Começando pela parte real:
Então, o módulo do número complexo
é 1.
Passo 5
Agora, pela parte imaginária:
Resolvendo para
:
Como
pode ser qualquer inteiro, isso nos dá todas as possíveis soluções para o ângulo
.
Passo 6
Então, combinando o módulo
com os ângulos encontrados, as soluções para
são números complexos na forma:
para todo inteiro
.
Resposta
Todas as raízes da equação
são números complexos da forma:
Exercícios relacionados
[1 ponto] Mostre que
.
Em cada caso encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado:
[1.5 pontos] Dada uma função
analítica numa região
, considere as seguintes famílias
e
de curvas no plano, parametrizadas por
e
, da seguinte forma:
Prove que em cada ponto
, onde
, essas curvas se cruzam ortogonalmente.
Use o teste da comparação do limite para determinar a convergência/divergência das séries: