[1.5 pontos] Determine todas as raízes: pontos .

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para determinar todas as raízes da equação . Isso envolve trabalhar com números complexos e a função logarítmica no contexto dos complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o logaritmo de um número complexo e como encontrar todas as soluções possíveis para a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para números complexos, o logaritmo pode ter múltiplas soluções devido à periodicidade da função exponencial. Em termos matemáticos, se , então:
onde é qualquer inteiro (positivo, negativo ou zero), representando as diferentes “voltas” no círculo complexo.

Passo 3

No nosso caso, a equação é . Vamos comparar isso com a fórmula geral do logaritmo de um número complexo:
Aqui, a parte real do logaritmo deve ser igual a 0, e a parte imaginária deve ser igual a .

Passo 4

Começando pela parte real:
Então, o módulo do número complexo é 1.

Passo 5

Agora, pela parte imaginária:
Resolvendo para :
Como pode ser qualquer inteiro, isso nos dá todas as possíveis soluções para o ângulo .

Passo 6

Então, combinando o módulo com os ângulos encontrados, as soluções para são números complexos na forma:
para todo inteiro .

Resposta

Todas as raízes da equação são números complexos da forma:
é

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