[1.5 pontos] Dada uma função analítica numa região , considere as seguintes famílias e de curvas no plano, parametrizadas por e , da seguinte forma:
Prove que em cada ponto , onde , essas curvas se cruzam ortogonalmente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função analítica definida numa região . A gente tem duas famílias de curvas, e , que são parametrizadas de formas diferentes usando e . O objetivo é mostrar que, em cada ponto onde , essas curvas se cruzam de forma ortogonal, ou seja, formando um ângulo de 90 graus. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções analíticas, derivadas e as condições de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função é analítica em uma região se ela é diferenciável em todos os pontos dessa região. Isso implica que as partes real e imaginária de , que podemos chamar de e , respectivamente, satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Essas equações são fundamentais para garantir que a função seja analítica.

Passo 3

Agora, vamos analisar as curvas das famílias e . A família é parametrizada mantendo fixo em , ou seja:
Isso significa que são curvas onde a variável é constante. Similarmente, a família é parametrizada mantendo fixo em :
Então, são curvas onde a variável é constante.

Passo 4

Para mostrar que essas curvas se cruzam ortogonalmente, precisamos mostrar que as tangentes às curvas e no ponto de interseção são perpendiculares. Isso envolve calcular as derivadas das funções que definem as curvas e mostrar que o produto das inclinações dessas tangentes é -1.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas das curvas e . Para , derivando e em relação a :
Mas como é constante, , então:
A inclinação da tangente a é então .
Similarmente, para , derivando em relação a :
Como é constante, , então:
A inclinação da tangente a é .

Passo 6

Agora, usando as condições de Cauchy-Riemann:
Substituindo na inclinação das tangentes:
Inclinação de :
Inclinação de :

Passo 7

Para que as curvas se cruzem ortogonalmente, o produto das inclinações e deve ser igual a -1:
Mas, pela condição de Cauchy-Riemann, , então:

Resposta

Assim, mostramos que as inclinações das curvas e multiplicadas resultam em -1, o que confirma que elas se cruzam ortogonalmente em cada ponto onde .

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