[1.5 pontos] Dada uma função
analítica numa região
, considere as seguintes famílias
e
de curvas no plano, parametrizadas por
e
, da seguinte forma:
Prove que em cada ponto
, onde
, essas curvas se cruzam ortogonalmente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função analítica
definida numa região
. A gente tem duas famílias de curvas,
e
, que são parametrizadas de formas diferentes usando
e
. O objetivo é mostrar que, em cada ponto
onde
, essas curvas se cruzam de forma ortogonal, ou seja, formando um ângulo de 90 graus. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções analíticas, derivadas e as condições de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função
é analítica em uma região se ela é diferenciável em todos os pontos dessa região. Isso implica que as partes real e imaginária de
, que podemos chamar de
e
, respectivamente, satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Essas equações são fundamentais para garantir que a função seja analítica.
Passo 3
Agora, vamos analisar as curvas das famílias
e
. A família
é parametrizada mantendo
fixo em
, ou seja:
Isso significa que
são curvas onde a variável
é constante. Similarmente, a família
é parametrizada mantendo
fixo em
:
Então,
são curvas onde a variável
é constante.
Passo 4
Para mostrar que essas curvas se cruzam ortogonalmente, precisamos mostrar que as tangentes às curvas
e
no ponto de interseção são perpendiculares. Isso envolve calcular as derivadas das funções que definem as curvas e mostrar que o produto das inclinações dessas tangentes é -1.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas das curvas
e
. Para
, derivando
e
em relação a
:
Mas como
é constante,
, então:
A inclinação da tangente a
é então
.
Similarmente, para
, derivando em relação a
:
Como
é constante,
, então:
A inclinação da tangente a
é
.
Passo 6
Agora, usando as condições de Cauchy-Riemann:
Substituindo na inclinação das tangentes:
Inclinação de
:
Inclinação de
:
Passo 7
Para que as curvas se cruzem ortogonalmente, o produto das inclinações
e
deve ser igual a -1:
Mas, pela condição de Cauchy-Riemann,
, então:
Resposta
Assim, mostramos que as inclinações das curvas
e
multiplicadas resultam em -1, o que confirma que elas se cruzam ortogonalmente em cada ponto
onde
.
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.
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.
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