Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência/divergência das séries: sumn=2^infty 1ln ^n(n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Esses testes ajudam a analisar o comportamento das séries infinitas, especialmente quando os termos envolvem exponenciais ou potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual teste usar. O Teste da Razão é útil quando temos termos que envolvem potências de ou fatores que crescem rápido, como é o caso aqui com . Então, vamos optar pelo Teste da Razão.

Passo 3

O Teste da Razão diz o seguinte: para a série , calculamos . Se esse limite for :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, limn to infty | an+1an | = limn to infty 1ln^n+1(n+1)1ln^n(n) = limn to infty ln^n(n)ln^n+1(n+1) . Então, precisamos calcular:

Passo 5

Simplificando a expressão:
ln^n(n)ln^n+1(n+1) = ln^n(n)ln^n(n+1) cdot ln(n+1) = ( ln(n)ln(n+1) )^n cdot 1ln(n+1)

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de cada parte quando ( ln(n)ln(n+1) )^n to 1^n = 1 tende ao infinito.
  1. 1ln(n+1) to 0 : Para grandes , , então esse quociente tende a 1.
  2. : Cresce sem limite quando vai para infinito.
Então, temos:

Passo 7

Multiplicando os dois resultados:
1 cdot 0 = 0
Então,
limn to infty | an+1an | = 0

Passo 8

De acordo com o Teste da Razão, se , a série converge.

Resposta

A série converge segundo o Teste da Razão.

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