Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência/divergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Esses testes ajudam a analisar o comportamento das séries infinitas, especialmente quando os termos envolvem exponenciais ou potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual teste usar. O Teste da Razão é útil quando temos termos que envolvem potências de ou fatores que crescem rápido, como é o caso aqui com . Então, vamos optar pelo Teste da Razão.
Passo 3
O Teste da Razão diz o seguinte: para a série , calculamos . Se esse limite for :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, limn to infty | an+1an | = limn to infty 1ln^n+1(n+1)1ln^n(n) = limn to infty ln^n(n)ln^n+1(n+1) . Então, precisamos calcular: