Use o teste da comparação do limite para determinar a convergência/divergência das séries: sumn=1^infty tg^-1 n1+n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o teste da comparação do limite para determinar se a série converge ou diverge. Nosso objetivo é comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou não, usando o limite dos termos das duas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da nossa série. O termo geral é . Precisamos achar uma série comparação que seja mais simples e cujo comportamento (convergência ou divergência) já seja conhecido.

Passo 3

Observando o termo an approx pi21+n^2 = pi2 cdot 1n^2 , notamos que para grande, se aproxima de , já que o arco-tangente de tende a quando cresce. Então, podemos simplificar o termo:
Isso sugere que podemos comparar com a série .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste da comparação do limite, que diz que se limn to infty tan^-1 n1+n^21n^2 = limn to infty tan^-1 n1+n^2 cdot n^2 = limn to infty tan^-1 n = pi2 onde , então ambas as séries e têm o mesmo comportamento de convergência.
Vamos calcular esse limite:

Passo 5

Como o limite é um número positivo e finito, pelo teste da comparação do limite, a série terá o mesmo comportamento da série .
A série é uma série p com , que sabemos que converge porque .

Resposta

A série converge.

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