Use o teste da comparação do limite para determinar a convergência/divergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o teste da comparação do limite para determinar se a série
converge ou diverge. Nosso objetivo é comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou não, usando o limite dos termos das duas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos da nossa série. O termo geral é
. Precisamos achar uma série comparação
que seja mais simples e cujo comportamento (convergência ou divergência) já seja conhecido.
Passo 3
Observando o termo
, notamos que para
grande,
se aproxima de
, já que o arco-tangente de
tende a
quando
cresce. Então, podemos simplificar o termo:
Isso sugere que podemos comparar
com a série
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste da comparação do limite, que diz que se
onde
, então ambas as séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Vamos calcular esse limite:
Passo 5
Como o limite
é um número positivo e finito, pelo teste da comparação do limite, a série
terá o mesmo comportamento da série
.
A série
é uma série p com
, que sabemos que converge porque
.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
[1.5 pontos] Dada uma função
analítica numa região
, considere as seguintes famílias
e
de curvas no plano, parametrizadas por
e
, da seguinte forma:
Prove que em cada ponto
, onde
, essas curvas se cruzam ortogonalmente.
[1.5 pontos] Determine todas as raízes:
pontos
.
Usando a série geométrica convergente para
Expanda na forma de série potências as funções: