Três estrelas iguais, de massa
, formam um triângulo equilátero de lado
que gira em torno do centro do triângulo enquanto as estrelas se movem em uma mesma circunferência. Qual é a velocidade tangencial das estrelas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três estrelas iguais, cada uma com massa
, que formam um triângulo equilátero com lado
. Essas estrelas estão girando em torno do centro do triângulo, movendo-se todas na mesma circunferência. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade tangencial dessas estrelas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que, para que as estrelas girem em uma circunferência, elas precisam de uma força centrípeta que mantenha esse movimento circular. Essa força vem da interação gravitacional entre as estrelas. Vamos calcular a força gravitacional que atua sobre uma estrela devido às outras duas.
Passo 3
A força gravitacional entre duas estrelas é dada pela fórmula:
onde
é a constante gravitacional,
é a massa de cada estrela e
é a distância entre elas.
Passo 4
Como temos três estrelas formando um triângulo equilátero, cada estrela está sujeita a duas forças gravitacionais provenientes das outras duas estrelas. Essas forças têm direção para os lados do triângulo e, por causa da simetria, a componente radial (em direção ao centro) da força resultante será a soma das componentes das duas forças.
Passo 5
A componente da força que aponta para o centro do triângulo pode ser encontrada usando trigonometria. Como o triângulo é equilátero, o ângulo entre uma força e a direção radial é de 30 graus. Portanto, a componente radial de cada força é:
Passo 6
Como há duas forças agindo em cada estrela, a força centrípeta total
é:
Passo 7
A força centrípeta também pode ser expressa em termos da velocidade tangencial
e do raio da trajetória
:
No nosso caso, o raio
é a distância do centro do triângulo a cada estrela. Em um triângulo equilátero, essa distância é:
Passo 8
Igualando as duas expressões para
:
Vamos simplificar essa equação para encontrar
:
Passo 9
Cancelando
de ambos os lados e multiplicando ambos os lados por
:
Então, a velocidade tangencial
é:
Resposta
A velocidade tangencial das estrelas é
.
Exercícios relacionados
Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio
e comprimento
, carregada com carga
, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio
e mesmo comprimento
, carregada com uma carga
. Use a lei de Gauss para determinar:
a) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
b) o vetor campo elétrico a uma distância radial ;
c) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
a) o vetor campo elétrico a uma distância radial
b) o vetor campo elétrico a uma distância radial
c) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
Uma esfera de raio
envolve uma partícula de carga
, localizada no seu centro.
a) Mostre que o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com meio-ângulo (figura ) é igual a:
a) Mostre que o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com meio-ângulo
b) Qual é o fluxo para
? e para
?
Neste problema, vamos usar os resultados do Problema 73 a fim de deduzir a Eq. 12-61, que relaciona a largura da curva de ressonância ao valor
, quando a ressonância for aguda. Na ressonância, o denominador da Eq. 12-67 é
e
tem o seu valor máximo. Numa ressonância aguda a variação de
no numerador da Eq. 12-67 pode ser desprezada. Então, a potência será a metade do seu valor máximo nos valores de
para os quais se possa escrever
como o valor do denominador. (a) Mostrar que nestas circunstâncias,
obedece a
(b) Com a aproximação
, mostrar que
© Mostrar, pela Eq. 12-56, que
está relacionado a
e a
por
(d) Combinar os resultados de (b) e de © para mostrar que existem dois valores de
para os quais a potência é igual à metade da potência na ressonância e que estes dois valores são.
Então,
, o que é equivalente à Eq. 12-61.