Três estrelas iguais, de massa M, formam um triângulo equilátero de lado L que gira em torno do centro do triângulo enquanto as estrelas se movem em uma mesma circunferência. Qual é a velocidade tangencial das estrelas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três estrelas iguais, cada uma com massa , que formam um triângulo equilátero com lado . Essas estrelas estão girando em torno do centro do triângulo, movendo-se todas na mesma circunferência. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade tangencial dessas estrelas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, para que as estrelas girem em uma circunferência, elas precisam de uma força centrípeta que mantenha esse movimento circular. Essa força vem da interação gravitacional entre as estrelas. Vamos calcular a força gravitacional que atua sobre uma estrela devido às outras duas.

Passo 3

A força gravitacional entre duas estrelas é dada pela fórmula:
F = G M^2L^2
onde é a constante gravitacional, é a massa de cada estrela e é a distância entre elas.

Passo 4

Como temos três estrelas formando um triângulo equilátero, cada estrela está sujeita a duas forças gravitacionais provenientes das outras duas estrelas. Essas forças têm direção para os lados do triângulo e, por causa da simetria, a componente radial (em direção ao centro) da força resultante será a soma das componentes das duas forças.

Passo 5

A componente da força que aponta para o centro do triângulo pode ser encontrada usando trigonometria. Como o triângulo é equilátero, o ângulo entre uma força e a direção radial é de 30 graus. Portanto, a componente radial de cada força é:
Fradial = F cos(30^circ) = F times raiz32

Passo 6

Como há duas forças agindo em cada estrela, a força centrípeta total Fc = 2 times Fradial = 2 times G M^2L^2 times raiz32 = G M^2 raiz3L^2 é:

Passo 7

A força centrípeta também pode ser expressa em termos da velocidade tangencial Fc = M v^2r e do raio da trajetória r = Lraiz3 :
No nosso caso, o raio é a distância do centro do triângulo a cada estrela. Em um triângulo equilátero, essa distância é:

Passo 8

Igualando as duas expressões para G M^2 raiz3L^2 = M v^2Lraiz3 :
G M raiz3L^2 = v^2 raiz3L
Vamos simplificar essa equação para encontrar :

Passo 9

Cancelando G ML = v^2 de ambos os lados e multiplicando ambos os lados por v = raizG ML :
Então, a velocidade tangencial é:

Resposta

A velocidade tangencial das estrelas é .

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