[1 Pontos] Use o Teste de comparação para provar que a série
sumn=1^infty 12^n!=12+12^2+12^6+12^24+ldots
é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teste de Comparação para provar que a série
sumn=1^infty 12^n! = 12 + 12^2 + 12^6 + 12^24 + ldots
é convergente. Isso significa que queremos mostrar que a soma dessa série tem um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste de Comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série ao comparar seus termos com os de outra série cuja convergência já conhecemos. Ou seja, se compararmos nossos termos com uma série que sabemos que converge, podemos concluir que a nossa também converge.

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma série com a qual possamos comparar. Olhando para a nossa série, vemos que os termos são da forma sumn=1^infty 12^n = 12 + 14 + 18 + ldots . Sabemos que cresce muito rápido conforme aumenta. Então, também cresce muito rápido, fazendo com que fique bem pequeno.
Uma série que conhecemos que converge é a série geométrica:
Sabemos que essa série converge para 1, porque a razão está entre 0 e 1.

Passo 4

Vamos comparar os termos das duas séries:
12^n! <= 12^n
Isso vale porque para todo , então , e ao invertermos, a desigualdade se mantém.

Passo 5

Como a série sumn=1^infty 12^n! é convergente e para todo , pelo Teste de Comparação, a nossa série
também converge.

Resposta

Portanto, usando o Teste de Comparação, provamos que a série é convergente.

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