[1 Pontos] Determine o limite
, em que
a)
;
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o limite de
quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais, onde comparamos os termos de maior grau no numerador e no denominador.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
, então o numerador pode ser reescrito como:
Assim, a expressão fica:
Passo 3
Para encontrar o limite quando
tende ao infinito, vamos dividir o numerador e o denominador pelo termo de maior grau presente no denominador, que é
.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada termo separadamente:
-
: Conforme aumenta, tende a 0. -
: Também tende a 0 conforme aumenta.
Passo 5
Substituindo esses limites na expressão simplificada:
Resposta
O limite
é igual a 0.
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[1 Pontos] Use o Teste da integral para provar que a série
é convergente.
[1 Pontos] Determine o limite
, em que
c) , onde
;
c)
[1 Pontos] Determine o limite
, em que
d) , com
e
reais positivos com
.
d)
[1 Pontos] Use o Teste de comparação para provar que a série
é convergente.