[1 Pontos] Determine o limite lim n +infty an, em que
d) (0 2 5 P t s) an=raiz[n]a^n+b^n, com a e b reais positivos com a>b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite de uma sequência quando an = raiz[n]a^n + b^n tende ao infinito. A sequência é dada por:
Aqui, e são números reais positivos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de potências e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece dentro da raiz quando a^n + b^n approx a^n quando n to infty fica muito grande. Como , cresce muito mais rápido que conforme aumenta. Isso significa que, para valores grandes de , é praticamente igual a .

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
an = raiz[n]a^n + b^n approx raiz[n]a^n = a^n cdot 1n = a
Aqui, usamos a propriedade das raízes que diz que .

Passo 4

Portanto, conforme tende ao infinito, a sequência se aproxima de .

Resposta

limn to infty an = a

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