[1 pt] calcule o limite lim (x, y) (0,0) x^2+y^4x^2-y^4 (a) ao longo da curva x=raizy

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis, , que está se aproximando do ponto . A gente precisa calcular esse limite ao longo da curva . Isso significa que, em vez de nos aproximarmos de de qualquer direção, vamos seguir exatamente o caminho definido por essa curva. Para resolver isso, vamos substituir pela expressão na função e simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x^2 + y^4x^2 - y^4 na expressão do limite. Nossa função original é:
(raizy)^2 + y^4(raizy)^2 - y^4
Substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar os termos ao quadrado. Sabemos que y + y^4y - y^4 . Então, a expressão fica:

Passo 4

Perfeito! Agora, podemos fatorar y(1 + y^3)y(1 - y^3) no numerador e no denominador:
1 + y^31 - y^3
Aqui, é um fator comum em ambos, então podemos simplificar:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o limite quando 1 + 01 - 0 = 11 = 1 se aproxima de 0. Quando tende a 0, também tende a 0. Substituindo isso na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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