Considere a equação . Algumas soluções foram perdidas no processo?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos a equação diferencial . A questão quer saber se, ao resolver essa equação, algumas soluções foram perdidas. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais, especificamente verificando se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma é exata se . Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Tentaremos um fator que depende apenas de . Chamamos esse fator de . Multiplicando a equação original por :
Para que a equação seja exata, deve valer:
Calculando:
Igualando as duas expressões:
Isso leva a uma equação que não depende apenas de , o que complica a achar . Portanto, tentar um fator integrante que depende apenas de não funciona.

Passo 4

Vamos então tentar um fator integrante que depende de , ou seja, . Multiplicando a equação original por :
Aplicando a condição de exatidão:
Calculando:
Igualando:
Isso também não simplifica de forma que possa ser facilmente encontrada, indicando que precisamos de outra abordagem.

Passo 5

Dado que os fatores integrantes dependentes apenas de ou não funcionaram, vamos considerar que a equação é homogênea. Fazemos a substituição , onde . Calculando :
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Dividindo por :
Rearranjando:

Passo 6

Agora temos uma equação diferencial separável:
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, quebramos a fração do lado esquerdo usando frações parciais:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Simplificando a expressão:
Podemos reescrever como:
Onde é uma constante. Substituindo :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :
Rearranjando:
Isolando :
Nomeando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária. Portanto, não foram perdidas soluções durante o processo de resolução.

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