calcule o limite: lim (x, y) (0,0) 2 x^33 x^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim (x, y) (0,0) 2 x^33 x^2+y^2. Esse problema faz parte do estudo de limites de funções de duas variáveis no cálculo. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta quando os pontos (x, y) se aproximam de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo y=0. Nesse caso, substituímos y por 0 na função:
2 x^33 x^2 + 0^2 = 2 x^33 x^2 = 2x3
Agora, calculamos o limite quando x tende a 0:
limx to 0 2x3 = 0
Então, ao longo do eixo y=0, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo da reta y = kx, onde k é uma constante. Substituímos y por kx na função:
2 x^33 x^2 + (kx)^2 = 2 x^33 x^2 + k^2x^2 = 2 x^3(3 + k^2) x^2 = 2x3 + k^2
Calculando o limite quando x tende a 0:
limx to 0 2x3 + k^2 = 0
Então, ao longo de qualquer reta y = kx, o limite também é 0.

Passo 4

Vamos analisar agora usando coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta. Substituindo na função:
2 (r cos theta)^33 (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = 2 r^3 cos^3 theta3 r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = 2 r^3 cos^3 thetar^2 (3 cos^2 theta + sin^2 theta) = 2 r cos^3 theta3 cos^2 theta + sin^2 theta
Agora, calculamos o limite quando r tende a 0:
limr to 0 2 r cos^3 theta3 cos^2 theta + sin^2 theta = 0
Independentemente do valor de theta, o limite é 0.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) 2 x^33 x^2+y^2 é igual a 0.

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