Calcule: lim x 0 sin ^2 x1-cos x

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular o limite . Vamos utilizar conhecimentos de limites e identidades trigonométricas para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica básica. Sabemos que:
1 - cos x = 2 sin^2(x2)
Essa identidade nos ajudará a reescrever o denominador de forma mais simples.

Passo 3

Substituímos a identidade no denominador da fração original:
sin^2 x1 - cos x = sin^2 x2 sin^2(x2)
Agora, nossa expressão ficou mais fácil de trabalhar.

Passo 4

Vamos simplificar a fração dividindo o numerador pelo denominador:
sin^2 x2 sin^2(x2) = 12 (sin xsin(x2))^2
Isso nos ajuda a focar na parte que envolve o seno.

Passo 5

Agora, usamos a identidade trigonométrica que relaciona sin x = 2 sin(x2) cos(x2) com 12 (2 sin(x2) cos(x2)sin(x2))^2 = 12 (2 cos(x2))^2 :
Substituímos isso na expressão:

Passo 6

Simplificamos a expressão:
12 times 4 cos^2(x2) = 2 cos^2(x2)
Agora, temos uma expressão mais simples para calcular o limite.

Passo 7

Finalmente, calculamos o limite quando limx 0 2 cos^2(x2) = 2 times (1)^2 = 2 se aproxima de 0. Sabemos que , então:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Determine o valor de a in R de modo que a função definida por
f(x) = { a*x + 1, se x < 2; x - a*x², se x ≥ 2 }
seja contínua em x = 2.
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(f) Se f(x, y) = x^2 - 2xy, então f(x+y, y) = x^2 - y^2.
[1 pt] calcule o limite lim (x, y) (0,0) x(e^y / x-1)x+y
Calcule: lim x 0(1+x2)^1 / x