Determine o valor de
de modo que a função definida por
seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
para que a função
seja contínua em
. Isso envolve entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como igualar os limites laterais para garantir essa continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto
. A função
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos que
seja contínua em
. Então, precisamos garantir que o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda seja igual ao limite quando
se aproxima de 2 pela direita, e ambos sejam iguais ao valor de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, isto é, quando
se aproxima de 2 por valores menores que 2 (
).
Para
, a função é
. Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando
se aproxima de 2 por valores maiores ou iguais a 2 (
).
Para
, a função é
. Então,
Passo 5
Para a função ser contínua em
, os limites laterais devem ser iguais. Portanto, igualamos os resultados obtidos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de
:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.
Exercícios relacionados
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(f) , então
.
(f)
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(b) O teorema fundamental do cálculo implica que .
(b) O teorema fundamental do cálculo implica que
Calcule: