[1 pt] calcule o limite:
(a)
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis e vamos precisar usar conceitos de limites e funções trigonométricas, especificamente a função seno.
Passo 2
Vamos analisar a função dada:
. Note que à medida que
se aproxima de
, tanto
quanto
tendem a zero. Isso significa que
também tende a zero.
Passo 3
Agora, vamos observar a parte do seno:
. Quando
se aproxima de zero,
cresce sem limite, fazendo o argumento do seno oscilar rapidamente. No entanto, sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Passo 4
Usando essa propriedade do seno, podemos multiplicar todos os lados da desigualdade por
(que é positivo) para manter a desigualdade:
Isso nos permite aplicar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Aperto), que diz que se uma função é “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela própria tem esse limite.
Passo 5
Sabemos que
tende a 0 quando
se aproxima de
. Portanto, pelas desigualdades que estabelecemos:
E como ambos os limites laterais são 0, pelo Teorema do Sanduíche, o limite da função central também é 0.
Resposta
Exercícios relacionados
[2 pt] Calcule a integral definida:
(a)
(a)
Nos itens abaixo, determine
.
Nos problemas de 1 a 6 encontre duas soluções em série de potências da equação diferencial em torno do ponto ordinário
.
[1 pt] Determine a derivada partial
.