[1 pt] calcule o limite:
(a)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis e vamos precisar usar conceitos de limites e funções trigonométricas, especificamente a função seno.

Passo 2

Vamos analisar a função dada: . Note que à medida que se aproxima de , tanto quanto tendem a zero. Isso significa que também tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos observar a parte do seno: . Quando se aproxima de zero, cresce sem limite, fazendo o argumento do seno oscilar rapidamente. No entanto, sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 4

Usando essa propriedade do seno, podemos multiplicar todos os lados da desigualdade por (que é positivo) para manter a desigualdade:
Isso nos permite aplicar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Aperto), que diz que se uma função é “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela própria tem esse limite.

Passo 5

Sabemos que tende a 0 quando se aproxima de . Portanto, pelas desigualdades que estabelecemos:
E como ambos os limites laterais são 0, pelo Teorema do Sanduíche, o limite da função central também é 0.

Resposta

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[2 pt] Calcule a integral definida:
(a)
Nos itens abaixo, determine .
Nos problemas de 1 a 6 encontre duas soluções em série de potências da equação diferencial em torno do ponto ordinário .
[1 pt] Determine a derivada partial .