[1 pt] calcule o limite:
(a) lim (x, y) (0,0)(x+y) sen(1x^2-y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis e vamos precisar usar conceitos de limites e funções trigonométricas, especificamente a função seno.

Passo 2

Vamos analisar a função dada: . Note que à medida que se aproxima de , tanto quanto tendem a zero. Isso significa que também tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos observar a parte do seno: -1 <= sin(1x^2 - y^2) <= 1 . Quando se aproxima de zero, cresce sem limite, fazendo o argumento do seno oscilar rapidamente. No entanto, sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 4

Usando essa propriedade do seno, podemos multiplicar todos os lados da desigualdade por - |x + y| <= (x + y) cdot sin(1x^2 - y^2) <= |x + y| (que é positivo) para manter a desigualdade:
Isso nos permite aplicar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Aperto), que diz que se uma função é “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela própria tem esse limite.

Passo 5

Sabemos que - |x + y| <= (x + y) cdot sin(1x^2 - y^2) <= |x + y| tende a 0 quando se aproxima de . Portanto, pelas desigualdades que estabelecemos:
E como ambos os limites laterais são 0, pelo Teorema do Sanduíche, o limite da função central também é 0.

Resposta

lim (x, y) (0,0)(x+y) cdot sin(1x^2-y^2) = 0

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