[2 pt] Calcule a integral definida:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de de 1 até . Isso é um exercício de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de substituição e entender um pouco sobre logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a parte dentro da raiz quadrada: . Para simplificar essa expressão, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar . Assim, a integral vai ficar em termos de e será mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Derivando , temos:
Ou seja, .
Passo 4
Queremos isolar nessa equação. Então, multiplicando ambos os lados por :
Agora, podemos substituir na integral por .
Passo 5
Substituindo na integral original, temos:
Essa é uma integral mais simples de resolver.
Passo 6
Agora, vamos integrar :
Como estamos calculando uma integral definida, o não é necessário.
Passo 7
Vamos voltar para a variável original . Sabemos que , então:
Agora, substituindo os limites de integração de até .
Passo 8
Calculando nos limites:
- Para :
- Para :
Passo 9
Agora, subtraímos os valores nos limites:
Resposta
A integral definida é igual a .
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, determine .
Nos itens abaixo, determine .
[1 pt] calcule o limite:
(a)
Nos problemas de 1 a 6 encontre duas soluções em série de potências da equação diferencial em torno do ponto ordinário .