[2 pt] Calcule a integral definida:
(a) integral1^e 1x raiz1+2 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de de 1 até . Isso é um exercício de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de substituição e entender um pouco sobre logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a parte dentro da raiz quadrada: . Para simplificar essa expressão, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar . Assim, a integral vai ficar em termos de e será mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2 cdot 1x em relação a para substituir . Derivando , temos:
Ou seja, .

Passo 4

Queremos isolar du = 2 cdot 1x dx implies du2 = 1x dx nessa equação. Então, multiplicando ambos os lados por :
Agora, podemos substituir na integral por .

Passo 5

Substituindo na integral original, temos:
integral 1x raiz1+2 ln x dx = integral 1raizu cdot du2 = 12 integral u^-1/2 du
Essa é uma integral mais simples de resolver.

Passo 6

Agora, vamos integrar 12 integral u^-1/2 du = 12 cdot 2 u^1/2 + C = u^1/2 + C :
Como estamos calculando uma integral definida, o não é necessário.

Passo 7

Vamos voltar para a variável original u^1/2 = raiz1 + 2 ln x . Sabemos que , então:
Agora, substituindo os limites de integração de até .

Passo 8

Calculando nos limites:
  • Para raiz1 + 2 ln e = raiz1 + 2 cdot 1 = raiz3 :
raiz1 + 2 ln 1 = raiz1 + 2 cdot 0 = raiz1 = 1
  • Para :

Passo 9

Agora, subtraímos os valores nos limites:
raiz3 - 1

Resposta

A integral definida é igual a .

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