[2 pt] Calcule a integral definida:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de
de 1 até
. Isso é um exercício de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de substituição e entender um pouco sobre logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a parte dentro da raiz quadrada:
. Para simplificar essa expressão, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar
. Assim, a integral vai ficar em termos de
e será mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando
, temos:
Ou seja,
.
Passo 4
Queremos isolar
nessa equação. Então, multiplicando ambos os lados por
:
Agora, podemos substituir
na integral por
.
Passo 5
Substituindo na integral original, temos:
Essa é uma integral mais simples de resolver.
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Como estamos calculando uma integral definida, o
não é necessário.
Passo 7
Vamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então:
Agora, substituindo os limites de integração de
até
.
Passo 8
Calculando nos limites:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Agora, subtraímos os valores nos limites:
Resposta
A integral definida é igual a
.