[2 pt] Calcule a integral definida: (a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de de 1 até . Isso é um exercício de cálculo integral, mais especificamente envolvendo substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de substituição e entender um pouco sobre logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a parte dentro da raiz quadrada: . Para simplificar essa expressão, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar . Assim, a integral vai ficar em termos de e será mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Derivando , temos: Ou seja, .

Passo 4

Queremos isolar nessa equação. Então, multiplicando ambos os lados por : Agora, podemos substituir na integral por .

Passo 5

Substituindo na integral original, temos: Essa é uma integral mais simples de resolver.

Passo 6

Agora, vamos integrar : Como estamos calculando uma integral definida, o não é necessário.

Passo 7

Vamos voltar para a variável original . Sabemos que , então: Agora, substituindo os limites de integração de até .

Passo 8

Calculando nos limites: - Para : - Para :

Passo 9

Agora, subtraímos os valores nos limites:

Resposta

A integral definida é igual a .

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