Nos itens abaixo, determine partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=cos ^2(3 x-y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que ajuda a diferenciar funções compostas, e conhecimentos básicos de derivadas de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = ddu(cos^2(u)) cdot partial upartial x em relação a , ou seja, .
A função pode ser vista como uma composição de duas funções:
Para derivar em relação a , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular cada parte dessa expressão:
  1. Derivada de ddu(cos^2(u)) = 2cos(u) cdot (-sin(u)) = -2cos(u)sin(u) em relação a partial upartial x = 3 :
Aqui usamos a regra do poder e a derivada de .
  1. Derivada de em relação a :
Já que é tratado como constante quando derivamos em relação a .

Passo 4

Agora, juntando as duas partes:
partial fpartial x = -2cos(u)sin(u) cdot 3 = -6cos(3x - y^2)sin(3x - y^2)
Podemos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica partial fpartial x = -3sin(2(3x - y^2)) :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = ddu(cos^2(u)) cdot partial upartial y em relação a -2cos(u)sin(u) , ou seja, partial upartial y = -2y .
Seguindo o mesmo raciocínio:
partial fpartial y = -2cos(3x - y^2)sin(3x - y^2) cdot (-2y) = 4ycos(3x - y^2)sin(3x - y^2)
Calculando cada parte:
  1. Derivada de partial fpartial y = 2ysin(2(3x - y^2)) em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Juntando:
Usando a mesma identidade trigonométrica:

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = -3sin(6x - 2y^2) são:
partial fpartial y = 2ysin(6x - 2y^2)
e

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