Nos itens abaixo, determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que ajuda a diferenciar funções compostas, e conhecimentos básicos de derivadas de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função pode ser vista como uma composição de duas funções:
Para derivar em relação a , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular cada parte dessa expressão:
  1. Derivada de em relação a :
Aqui usamos a regra do poder e a derivada de .
  1. Derivada de em relação a :
Já que é tratado como constante quando derivamos em relação a .

Passo 4

Agora, juntando as duas partes:
Podemos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Seguindo o mesmo raciocínio:
Calculando cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Juntando:
Usando a mesma identidade trigonométrica:

Resposta

As derivadas parciais de são:
e

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, determine .
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(e) Para função , temos .
[2 pt] Calcule a integral definida:
(a)
[1 pt] calcule o limite:
(a)