[1 pt] det[(4 A)(A B)^-1]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o determinante da expressão det[(4 A)(A B)^-1]. Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes relacionadas à multiplicação de matrizes e à matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja, det(AB) = det A cdot det B. Aplicando essa propriedade, temos:
det[(4 A)(A B)^-1] = det(4 A) cdot det[(A B)^-1]

Passo 3

Agora, vamos calcular det(4 A). Quando multiplicamos uma matriz por um escalar k, o determinante é multiplicado por k^n, onde n é a ordem da matriz (ou seja, o número de linhas ou colunas). Portanto:
det(4 A) = 4^n cdot det A

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o determinante da matriz inversa (A B)^-1. Sabemos que det(A^-1) = 1det A. Então:
det[(A B)^-1] = 1det(A B)
E, usando novamente a propriedade do produto de determinantes:
det(A B) = det A cdot det B
Portanto:
det[(A B)^-1] = 1det A cdot det B

Passo 5

Agora, substituímos os valores encontrados nos passos anteriores na expressão inicial:
det[(4 A)(A B)^-1] = 4^n cdot det A cdot 1det A cdot det B = 4^ndet B

Resposta

4^ndet B

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