Determinar o ângulo entre as seguintes retas: r1:lx=-2-t y=t z=3-2 t e r2: x2=y+61=z-11
b) r1:ly=-2 x+3 z=x-2 e r2: y=z+1-1 ; x=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar o ângulo entre duas retas no espaço. As retas são dadas por:
  • Reta y = -2x + 3 z = x - 2 :
    y = z + 1-1 x = 4
  • Reta :
Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre retas no espaço e o cálculo do ângulo entre duas retas usando vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as equações das retas na forma paramétrica para facilitar a identificação dos vetores diretores.
Para a reta y = -2x + 3 implies x = 3 - y2 :
A equação de z = x - 2 está em função de x = t y = -2t + 3 z = t - 2 :
r1: x = t y = -2t + 3 z = t - 2
E y = z + 1-1 implies y = -z -1 x = 4 também está em função de x = 4 z = t y = -t -1 :
r2: x = 4 y = -t - 1 z = t
Podemos escolher um parâmetro, digamos , então:
Portanto, a forma paramétrica da reta é:
Para a reta :
As equações são:
Aqui, é constante, igual a 4. Podemos escolher como parâmetro:
Portanto, a forma paramétrica da reta é:

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta a partir das formas paramétricas.
Para a reta d1 = 1 -2 1 :
A variação ocorre com o parâmetro d2 = 0 -1 1 , então o vetor diretor é dado pelos coeficientes de :
Para a reta :
Aqui, o parâmetro é também , então o vetor diretor é:

Passo 4

Para encontrar o ângulo cos theta = d1 cdot d2 | d1 | cdot | d2 | entre as duas retas, usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
d1 cdot d2 = (1)(0) + (-2)(-1) + (1)(1) = 0 + 2 + 1 = 3
onde:
  • | d1 | = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 é o produto escalar dos vetores.
  • | d2 | = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 e cos theta = 3raiz6 cdot raiz2 = 3raiz12 = 32raiz3 = 3raiz36 = raiz32 são as normas (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte:
  1. Produto escalar :
  1. Norma de :
  1. Norma de :
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta = arccos( raiz32 ) , precisamos aplicar a função arccos (cosseno inverso):
arccos( raiz32 ) = 30^circ
Sabemos que:

Resposta

O ângulo entre as retas e é de 30 graus.

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