Determinar o ângulo entre as seguintes retas: e
b) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar o ângulo entre duas retas no espaço. As retas são dadas por:
  • Reta :
  • Reta :
Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre retas no espaço e o cálculo do ângulo entre duas retas usando vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as equações das retas na forma paramétrica para facilitar a identificação dos vetores diretores.
Para a reta :
A equação de está em função de :
E também está em função de :
Podemos escolher um parâmetro, digamos , então:
Portanto, a forma paramétrica da reta é:
Para a reta :
As equações são:
Aqui, é constante, igual a 4. Podemos escolher como parâmetro:
Portanto, a forma paramétrica da reta é:

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta a partir das formas paramétricas.
Para a reta :
A variação ocorre com o parâmetro , então o vetor diretor é dado pelos coeficientes de :
Para a reta :
Aqui, o parâmetro é também , então o vetor diretor é:

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte:
  1. Produto escalar :
  1. Norma de :
  1. Norma de :
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo , precisamos aplicar a função arccos (cosseno inverso):
Sabemos que:

Resposta

O ângulo entre as retas e é de 30 graus.

Exercícios relacionados

[2 pts] Determine, caso exista, a matriz inversa de A. Caso contrário, justifique sua resposta. Onde:
Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(b) , onde .