Determinar o ângulo entre as seguintes retas: e r2: x2=y+61=z-11
b) r1:ly=-2 x+3 z=x-2 e r2: y=z+1-1 ; x=4
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar o ângulo entre duas retas no espaço. As retas são dadas por:
Reta y = -2x + 3 z = x - 2 :
y = z + 1-1 x = 4
Reta :
Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre retas no espaço e o cálculo do ângulo entre duas retas usando vetores diretores.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar as equações das retas na forma paramétrica para facilitar a identificação dos vetores diretores.
Para a reta y = -2x + 3 implies x = 3 - y2 :
A equação de z = x - 2 está em função de x = t y = -2t + 3 z = t - 2 :
r1: x = t y = -2t + 3 z = t - 2
E y = z + 1-1 implies y = -z -1 x = 4 também está em função de x = 4 z = t y = -t -1 :
r2: x = 4 y = -t - 1 z = t
Podemos escolher um parâmetro, digamos , então:
Portanto, a forma paramétrica da reta é:
Para a reta :
As equações são:
Aqui, é constante, igual a 4. Podemos escolher como parâmetro:
Portanto, a forma paramétrica da reta é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta a partir das formas paramétricas.
Para a reta d1 = 1 -2 1 :
A variação ocorre com o parâmetro d2 = 0 -1 1 , então o vetor diretor é dado pelos coeficientes de :
Para a reta :
Aqui, o parâmetro é também , então o vetor diretor é:
Passo 4
Para encontrar o ângulo cos theta = d1 cdot d2 | d1 | cdot | d2 | entre as duas retas, usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores: