Determinar o ângulo entre as seguintes retas: e
b) e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar o ângulo entre duas retas no espaço. As retas são dadas por:
Reta :
Reta :
Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre retas no espaço e o cálculo do ângulo entre duas retas usando vetores diretores.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar as equações das retas na forma paramétrica para facilitar a identificação dos vetores diretores.
Para a reta :
A equação de está em função de :
E também está em função de :
Podemos escolher um parâmetro, digamos , então:
Portanto, a forma paramétrica da reta é:
Para a reta :
As equações são:
Aqui, é constante, igual a 4. Podemos escolher como parâmetro:
Portanto, a forma paramétrica da reta é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta a partir das formas paramétricas.
Para a reta :
A variação ocorre com o parâmetro , então o vetor diretor é dado pelos coeficientes de :
Para a reta :
Aqui, o parâmetro é também , então o vetor diretor é:
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
onde:
é o produto escalar dos vetores.
e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte:
Produto escalar :
Norma de :
Norma de :
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, para encontrar o ângulo , precisamos aplicar a função arccos (cosseno inverso):