[2 pts] Determine, caso exista, a matriz inversa de A. Caso contrário, justifique sua resposta. Onde:
A=[rrr -2 & 3 & -1 1 & -3 & 1 -1 & 2 & -1 ]

Passo 1

Então, temos que determinar se a matriz possui uma matriz inversa. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e determinantes. Vamos precisar calcular o determinante de para saber se a inversa existe e, se existir, utilizaremos a fórmula da matriz inversa que envolve o determinante e a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada só possui uma inversa se o seu determinante for diferente de zero, ou seja, se . O determinante é um valor que nos dá informações importantes sobre a matriz, como a possibilidade de existir a inversa.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A = -2 & 3 & -1 1 & -3 & 1 -1 & 2 & -1 :
det(A) = (-2) cdot det -3 & 1 2 & -1 - 3 cdot det 1 & 1 -1 & -1 + (-1) cdot det 1 & -3 -1 & 2
Usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos utilizar a expansão pela primeira linha:
det -3 & 1 2 & -1 = (-3)(-1) - (1)(2) = 3 - 2 = 1
Calculando os determinantes 2x2:
det 1 & 1 -1 & -1 = (1)(-1) - (1)(-1) = -1 + 1 = 0
det 1 & -3 -1 & 2 = (1)(2) - (-3)(-1) = 2 - 3 = -1
det(A) = (-2)(1) - 3(0) + (-1)(-1) = -2 - 0 + 1 = -1
Substituindo de volta:

Passo 4

Como o determinante de é , que é diferente de zero ( ), concluímos que a matriz possui uma inversa.

Passo 5

Para encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , utilizamos a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .

Passo 6

Vamos calcular a matriz dos cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) . Cada elemento da matriz de cofatores C11 = (-1)^1+1 cdot det -3 & 1 2 & -1 = 1 cdot 1 = 1 é dado por:
C12 = (-1)^1+2 cdot det 1 & 1 -1 & -1 = -1 cdot 0 = 0
onde C13 = (-1)^1+3 cdot det 1 & -3 -1 & 2 = 1 cdot (-1) = -1 é a matriz que resulta da remoção da C21 = (-1)^2+1 cdot det 3 & -1 2 & -1 = -1 cdot (3(-1) - (-1)(2)) = -1 cdot (-3 + 2) = -1 cdot (-1) = 1 -ésima linha e C22 = (-1)^2+2 cdot det -2 & -1 -1 & -1 = 1 cdot (-2(-1) - (-1)(-1)) = 1 cdot (2 - 1) = 1 -ésima coluna de C23 = (-1)^2+3 cdot det -2 & 3 -1 & 2 = -1 cdot (-2(2) - 3(-1)) = -1 cdot (-4 + 3) = -1 cdot (-1) = 1 .
Calculando os cofatores:
C31 = (-1)^3+1 cdot det 3 & -1 -3 & 1 = 1 cdot (3(1) - (-1)(-3)) = 1 cdot (3 - 3) = 0
C32 = (-1)^3+2 cdot det -2 & -1 1 & 1 = -1 cdot (-2(1) - (-1)(1)) = -1 cdot (-2 + 1) = -1 cdot (-1) = 1
C33 = (-1)^3+3 cdot det -2 & 3 1 & -3 = 1 cdot (-2(-3) - 3(1)) = 1 cdot (6 - 3) = 3
C = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 1 0 & 1 & 3
adj(A) = C^T = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 -1 & 1 & 3
Então, a matriz dos cofatores é:
Agora, a matriz adjunta é a transposta de :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da matriz inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 1-1 cdot 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 -1 & 1 & 3 = -1 & -1 & 0 0 & -1 & -1 1 & -1 & -3

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = -1 & -1 & 0 0 & -1 & -1 1 & -1 & -3 é:

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