Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(g) D: C^2(R) C(R), onde D(f)=f^prime prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma aplicação , onde . O que isso significa? Basicamente, estamos pegando uma função que tem derivadas até a segunda ordem contínuas e mapeando para sua segunda derivada. Hoje, vamos verificar se essa aplicação é injetora, sobrejetora, bijetora e se ela é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade, sobrejetividade, bijetividade e transformação linear, além de trabalhar com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Ou seja, para quaisquer funções e em e qualquer escalar :
Vamos verificar:
Como ambas as propriedades são satisfeitas, é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos ver se é injetora. Uma aplicação é injetora se diferentes elementos do domínio mapeiam para diferentes elementos no contradomínio. Em outras palavras, se implica que .
Suponha que , ou seja, . Integrando duas vezes, temos:
  1. , onde e são constantes de integração.
Isso mostra que duas funções com a mesma segunda derivada podem diferir por uma função linear . Portanto, não implica necessariamente que . Logo, não é injetora.

Passo 4

Vamos verificar se é sobrejetora. Uma aplicação é sobrejetora se para todo elemento no contradomínio, existe pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele.
Ou seja, para qualquer , existe tal que .
Para encontrar , precisamos resolver a equação diferencial . Integrando duas vezes:
  1. , onde e são constantes.
Desde que é contínua, suas integrais também serão contínuas, e será duas vezes diferenciável. Portanto, para qualquer , existe um tal que . Logo, é sobrejetora.

Passo 5

Finalmente, combinando os resultados anteriores:
  • não é injetora
  • é sobrejetora
Como bijetividade requer que a aplicação seja simultaneamente injetora e sobrejetora, não é bijetora.

Resposta

A aplicação , definida por , é uma transformação linear e sobrejetora, mas não é injetora nem bijetora.

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