Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares:
(g)
, onde
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma aplicação
, onde
. O que isso significa? Basicamente, estamos pegando uma função que tem derivadas até a segunda ordem contínuas e mapeando para sua segunda derivada. Hoje, vamos verificar se essa aplicação é injetora, sobrejetora, bijetora e se ela é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade, sobrejetividade, bijetividade e transformação linear, além de trabalhar com derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Ou seja, para quaisquer funções
e
em
e qualquer escalar
:
Vamos verificar:
-
✅ -
✅
Como ambas as propriedades são satisfeitas,
é uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é injetora. Uma aplicação é injetora se diferentes elementos do domínio mapeiam para diferentes elementos no contradomínio. Em outras palavras, se
implica que
.
Suponha que
, ou seja,
. Integrando duas vezes, temos:
-
-
, onde e são constantes de integração.
Isso mostra que duas funções com a mesma segunda derivada podem diferir por uma função linear
. Portanto,
não implica necessariamente que
. Logo,
não é injetora.
Passo 4
Vamos verificar se
é sobrejetora. Uma aplicação é sobrejetora se para todo elemento no contradomínio, existe pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele.
Ou seja, para qualquer
, existe
tal que
.
Para encontrar
, precisamos resolver a equação diferencial
. Integrando duas vezes:
-
-
, onde e são constantes.
Desde que
é contínua, suas integrais também serão contínuas, e
será duas vezes diferenciável. Portanto, para qualquer
, existe um
tal que
. Logo,
é sobrejetora.
Passo 5
Finalmente, combinando os resultados anteriores:
-
não é injetora -
é sobrejetora
Como bijetividade requer que a aplicação seja simultaneamente injetora e sobrejetora,
não é bijetora.
Resposta
A aplicação
, definida por
, é uma transformação linear e sobrejetora, mas não é injetora nem bijetora.