Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.
d) T: R^3 R^2, e T(x, y, z)=(x-y, x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se essa função , definida por , é uma transformação linear. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa função segue as duas regras principais que definem uma transformação linear: preservar a adição e preservar a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função é uma transformação linear se, para quaisquer vetores e no espaço de partida e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição Vetorial:
  2. Multiplicação por Escalar:
Essas propriedades garantem que a estrutura vetorial é preservada pela transformação.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: preservar a adição.
Sejam dois vetores quaisquer em T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), x1 + x2) , T(u + v) = (x1 - y1 + x2 - y2, x1 + x2) e T(u) = (x1 - y1, x1) .
Calculando T(v) = (x2 - y2, x2) :
T(u) + T(v) = (x1 - y1 + x2 - y2, x1 + x2)
Simplificando:
Agora, calculando :
Somando:
Vemos que , então a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Agora vamos verificar a segunda propriedade: preservar a multiplicação por escalar.
Seja um vetor T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx - cy, cx) e um escalar T(cu) = c(x - y, x) = cT(u) .
Calculando :
Fatorando o escalar:
Portanto, , e a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Sim, a função é uma transformação linear porque ela preserva a adição vetorial e a multiplicação por escalar.

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