Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.
d)
, e
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se essa função
, definida por
, é uma transformação linear. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa função segue as duas regras principais que definem uma transformação linear: preservar a adição e preservar a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função
é uma transformação linear se, para quaisquer vetores
e
no espaço de partida e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Essas propriedades garantem que a estrutura vetorial é preservada pela transformação.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: preservar a adição.
Sejam dois vetores quaisquer em
,
e
.
Calculando
:
Simplificando:
Agora, calculando
:
Somando:
Vemos que
, então a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Agora vamos verificar a segunda propriedade: preservar a multiplicação por escalar.
Seja um vetor
e um escalar
.
Calculando
:
Fatorando o escalar:
Portanto,
, e a segunda propriedade também é satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é uma transformação linear porque ela preserva a adição vetorial e a multiplicação por escalar.