Vamos resumir o problema: Precisamos verificar se a função é contínua em todos os pontos do plano . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e quais são as condições para que a função logaritmo natural esteja definida e contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função está definida. Sabemos que o logaritmo natural só existe quando . Então, para a nossa função:
Isso significa que:
Passo 3
Essa desigualdade define a região do plano onde a função está definida. Em outras palavras, só existe para pontos que estão fora do triângulo formado pelas inequações .
Passo 4
Dentro dessa região onde , a expressão é contínua porque é uma soma e subtração de funções contínuas (valores absolutos e constantes são contínuos). Além disso, o logaritmo natural é uma função contínua onde está definido. A composição de funções contínuas resulta em uma função contínua.
Passo 5
Contudo, fora dessa região (onde ), a função não está definida, pois o logaritmo de números não positivos não existe. Isso significa que não podemos atribuir valores à função nesses pontos, rompendo a continuidade em todo o plano .
Resposta
A função não é contínua em todos os pontos do plano , já que ela está definida apenas para os pontos onde .