[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano R^2. Justifique a resposta.
© z = ln (|x| + |y| - 1)

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos verificar se a função é contínua em todos os pontos do plano . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e quais são as condições para que a função logaritmo natural esteja definida e contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função está definida. Sabemos que o logaritmo natural só existe quando . Então, para a nossa função:
Isso significa que:

Passo 3

Essa desigualdade define a região do plano onde a função está definida. Em outras palavras, só existe para pontos que estão fora do triângulo formado pelas inequações .

Passo 4

Dentro dessa região onde , a expressão é contínua porque é uma soma e subtração de funções contínuas (valores absolutos e constantes são contínuos). Além disso, o logaritmo natural é uma função contínua onde está definido. A composição de funções contínuas resulta em uma função contínua.

Passo 5

Contudo, fora dessa região (onde ), a função não está definida, pois o logaritmo de números não positivos não existe. Isso significa que não podemos atribuir valores à função nesses pontos, rompendo a continuidade em todo o plano .

Resposta

A função não é contínua em todos os pontos do plano , já que ela está definida apenas para os pontos onde .

Exercícios relacionados

[1 pt] calcule o limite lim (x, y) (0,0) x(e^y / x-1)x+y
(a) ao longo da curva y=x
y'' - y' - 2y = 0; y(0) = α; y'(0) = 2
Calcule os seguintes limites: lim x +infty (5 x^10+3)^3(1-2 x^6)^5
Calcule: lim x 0^+ 5 x+1x