Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos duas condições iniciais:
Então, vamos resolver essa equação diferencial encontrando a função que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas e suas soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Isso geralmente envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica para essa equação diferencial é obtida substituindo na equação diferencial:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as ra��zes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções associadas a cada raiz:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, aplicamos :
Então, temos:
Passo 7
Em seguida, derivamos para encontrar :
Agora, aplicamos a condição :
Então, temos:
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos somar as duas equações para eliminar :
Passo 9
Agora, substituímos de volta na equação (1) para encontrar :
Passo 10
Com os valores de e encontrados, podemos escrever a solução completa da equação diferencial:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: