y'' - y' - 2y = 0; y(0) = α; y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos duas condições iniciais:
Então, vamos resolver essa equação diferencial encontrando a função que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas e suas soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Isso geralmente envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica para essa equação diferencial é obtida substituindo na equação diferencial:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as ra��zes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções associadas a cada raiz:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, aplicamos :
Então, temos:

Passo 7

Em seguida, derivamos para encontrar :
Agora, aplicamos a condição :
Então, temos:

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos somar as duas equações para eliminar :

Passo 9

Agora, substituímos de volta na equação (1) para encontrar :

Passo 10

Com os valores de e encontrados, podemos escrever a solução completa da equação diferencial:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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