[1 pt] Obtenha o rotacional , realizando o produto vetorial (veja o Formulário). Mostre, detalhadamente, todas as suas contas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o rotacional de um campo vetorial, que é representado por . O conteúdo aqui é de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre o cálculo do rotacional usando o produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de rotacional e calcular o produto vetorial entre os vetores envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou , mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula do determinante:
Aqui, é o campo vetorial dado.

Passo 3

Então, vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial . Pelo enunciado, temos:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos montar o determinante com esses componentes:

Passo 5

A seguir, calculamos o determinante expandindo por cofatores:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então:

Passo 7

Agora, juntando tudo:

Resposta

O rotacional de é .

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Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução .
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Dica: Calcule o fluxo diretamente, pois não vale o Ieorema da Divergência.
Determine a equação da família de curvas tais que a área do trapézio (de base maior sobre o eixo , limitada pelos eixos coordenados, à tangente em um ponto genérico do primeiro quadrante e a reta paralela ao eixo passando por estes pontos) tenha área sempre igual a 2 .
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