[1 pt] Obtenha o rotacional , realizando o produto vetorial (veja o Formulário). Mostre, detalhadamente, todas as suas contas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o rotacional de um campo vetorial, que é representado por . O conteúdo aqui é de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre o cálculo do rotacional usando o produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de rotacional e calcular o produto vetorial entre os vetores envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou , mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula do determinante:
Aqui, é o campo vetorial dado.
Passo 3
Então, vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial . Pelo enunciado, temos:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos montar o determinante com esses componentes:
Passo 5
A seguir, calculamos o determinante expandindo por cofatores: