[1 pt] Obtenha o rotacional nabla x F = (0, -x + z, y), realizando o produto vetorial (veja o Formulário). Mostre, detalhadamente, todas as suas contas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o rotacional de um campo vetorial, que é representado por . O conteúdo aqui é de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre o cálculo do rotacional usando o produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de rotacional e calcular o produto vetorial entre os vetores envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou nabla vezes F, mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula do determinante:
Aqui, é o campo vetorial dado.

Passo 3

Então, vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial F. Pelo enunciado, temos:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos montar o determinante com esses componentes:

Passo 5

A seguir, calculamos o determinante expandindo por cofatores:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então:

Passo 7

Agora, juntando tudo:

Resposta

O rotacional de F é .

Exercícios relacionados