Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou uma equação diferencial que envolve derivadas e funções trigonométricas. O objetivo é encontrar a solução
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos passo a passo entender como resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Nosso próximo passo é separar as variáveis
e
para lados diferentes da equação. Dividimos ambos os lados por
e também por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. Do lado esquerdo, temos uma integral em termos de
, e do lado direito, uma integral em termos de
:
Lembre-se que
.
Passo 5
Vamos resolver as integrais. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para isolar
, vamos exponenciar ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Aqui,
ainda representa uma constante, já que
é apenas outra constante.
Passo 7
Finalmente, tiramos o seno inverso para resolver
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Dica: Calcule o fluxo diretamente, pois não vale o Ieorema da Divergência.
Considere a equação diferencial:
ou, utilizando a notação
:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
[1 pt] Obtenha o rotacional
, realizando o produto vetorial (veja o Formulário). Mostre, detalhadamente, todas as suas contas.
Determine a equação da família de curvas tais que a área do trapézio (de base maior sobre o eixo
, limitada pelos eixos coordenados, à tangente em um ponto genérico do primeiro quadrante e a reta paralela ao eixo
passando por estes pontos) tenha área sempre igual a 2 .