Considere a equação diferencial:
(t^2 + 1) y' = -tan(y)
Resolva a equação diferencial e determine a solução y(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou uma equação diferencial que envolve derivadas e funções trigonométricas. O objetivo é encontrar a solução . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos passo a passo entender como resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 3

Nosso próximo passo é separar as variáveis e para lados diferentes da equação. Dividimos ambos os lados por e também por :

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. Do lado esquerdo, temos uma integral em termos de , e do lado direito, uma integral em termos de :
Lembre-se que .

Passo 5

Vamos resolver as integrais. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para isolar , vamos exponenciar ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Aqui, ainda representa uma constante, já que é apenas outra constante.

Passo 7

Finalmente, tiramos o seno inverso para resolver :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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