Determine a equação da família de curvas tais que a área do trapézio (de base maior sobre o eixo , limitada pelos eixos coordenados, à tangente em um ponto genérico do primeiro quadrante e a reta paralela ao eixo passando por estes pontos) tenha área sempre igual a 2 .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma família de curvas onde, para qualquer ponto no primeiro quadrante, a área de um trapézio formado por:
  • A base maior está sobre o eixo .
  • Os lados do trapézio são os eixos coordenados ( e ), a tangente à curva no ponto escolhido e uma reta paralela ao eixo que passa por esse ponto.
E essa área deve ser sempre igual a 2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a equação da reta tangente a uma curva em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um ponto genérico na curva que estamos buscando. A reta tangente à curva nesse ponto pode ser escrita usando a derivada da função que define a curva. Se a curva é , então a derivada nos dá a inclinação da tangente.
A equação da reta tangente em é:
onde é a coordenada do ponto de tangência, que neste caso é simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos onde essa tangente intercepta os eixos coordenados.
  1. Interseção com o eixo : Colocamos na equação da tangente:
Resolvendo para :
  1. Interseção com a reta paralela ao eixo : Essa reta é paralela ao e passa por , então sua equação é . O ponto de interseção dessa reta com a tangente ocorre quando , que já está definido pelo ponto .

Passo 4

Agora, vamos visualizar o trapézio formado:
  • Base maior: Está sobre o eixo , de a , onde .
  • Base menor: É a reta paralela ao que passa por , que tem comprimento 0 porque está apenas no ponto .
  • Altura do trapézio: É a distância vertical entre as duas bases, que é simplesmente .
No entanto, percebemos que na verdade estamos tratando de um triângulo, já que uma das bases tem comprimento 0. Mas, de acordo com a descrição, vamos considerar que a área do trapezoide formado deve ser constante e igual a 2.

Passo 5

A fórmula da área de um trapézio é:
Á
onde e são as bases e é a altura.
Aplicando isso ao nosso caso:
Substituindo :

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando termos:

Passo 7

Essa é uma equação diferencial que podemos resolver. Vamos rearranjá-la para facilitar:
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):
Esse passo nos leva de volta à equação anterior, indicando que precisamos encontrar outra abordagem para resolver a equação diferencial.

Passo 8

Vamos tentar uma substituição. Suponha que , onde é constante. Substituindo na equação:
Isso não satisfaz a condição de área igual a 2. Portanto, não é constante e precisamos procurar outra estratégia.

Passo 9

Vamos tentar separar variáveis. Retornando à equação:
Vamos reescrever para isolar :
Então:

Passo 10

Agora, temos uma equação diferencial separável:
Vamos tentar separar as variáveis e :
No entanto, essa separação ainda não é direta. Vamos tentar uma substituição diferente ou considerar uma equação linear.

Passo 11

Observando a equação original, podemos tentar uma substituição simplificando a expressão. Seja , então . Mas isso não simplifica diretamente. Outra abordagem é multiplicar ambos os lados por :
Vamos rearranjar:
Fatorando :
Então:
Isso nos leva de volta ao passo anterior. Parece que precisamos resolver a equação diferencial:

Passo 12

Para resolver a equação diferencial, vamos tentar uma substituição. Defina , então . Mas isso não ajuda diretamente. Outra tentativa: suponha que , então a equação fica:
Vamos tentar separar as variáveis:
Expandindo:
Rearranjando:
Pode-se tentar integrar ambos os lados, mas isso está ficando complicado. Talvez exista uma solução mais direta observando as condições da área.

Passo 13

Vamos reconsiderar a definição da área do trapézio. A área é 2, e a base maior é , e a altura é . Então:
Vamos rearranjar essa equação para isolar :
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Fatorando :
Então:

Passo 14

Agora, temos uma forma um pouco diferente da equação diferencial. Vamos tentar separar as variáveis novamente:
Podemos reescrever isso como:
Distribuindo:
Agora, vamos rearranjar para isolar os termos com :
Fatorando :
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Essa abordagem também não simplifica a resolução. Portanto, precisamos considerar outras técnicas para resolver essa equação diferencial.

Passo 15

Vamos tentar assumir uma forma funcional para . Suponha que , onde é uma constante. Vamos verificar se essa solução satisfaz a equação.
Calculando .
Substituindo na equação original:
Isso não é possível, então nossa suposição está errada. Portanto, não é uma função linear.

Passo 16

Vamos tentar uma substituição diferente. Seja , então . Voltando à equação:
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, temos uma equação mais fácil de integrar:

Passo 17

Vamos integrar ambos os lados:
Como é considerado constante em relação a durante a integração, a primeira integral se torna:
E a segunda integral:
Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 18

Substituindo :
Agora, vamos tentar isolar :
Essa é a solução geral da equação diferencial que representa a família de curvas que satisfaz a condição dada na questão.

Resposta

A equação da família de curvas que satisfaz a condição de área igual a 2 é:
onde é uma constante real.

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