Determine a equação da família de curvas tais que a área do trapézio (de base maior sobre o eixo
, limitada pelos eixos coordenados, à tangente em um ponto genérico do primeiro quadrante e a reta paralela ao eixo
passando por estes pontos) tenha área sempre igual a 2 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma família de curvas onde, para qualquer ponto no primeiro quadrante, a área de um trapézio formado por:
- A base maior está sobre o eixo
. - Os lados do trapézio são os eixos coordenados (
e ), a tangente à curva no ponto escolhido e uma reta paralela ao eixo que passa por esse ponto.
E essa área deve ser sempre igual a 2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a equação da reta tangente a uma curva em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um ponto genérico
na curva que estamos buscando. A reta tangente à curva nesse ponto pode ser escrita usando a derivada da função que define a curva. Se a curva é
, então a derivada
nos dá a inclinação da tangente.
A equação da reta tangente em
é:
onde
é a coordenada
do ponto de tangência, que neste caso é simplesmente
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos onde essa tangente intercepta os eixos coordenados.
- Interseção com o eixo
: Colocamos na equação da tangente:
Resolvendo para
:
- Interseção com a reta paralela ao eixo
: Essa reta é paralela ao e passa por , então sua equação é . O ponto de interseção dessa reta com a tangente ocorre quando , que já está definido pelo ponto .
Passo 4
Agora, vamos visualizar o trapézio formado:
- Base maior: Está sobre o eixo
, de a , onde . - Base menor: É a reta paralela ao
que passa por , que tem comprimento 0 porque está apenas no ponto . - Altura do trapézio: É a distância vertical entre as duas bases, que é simplesmente
.
No entanto, percebemos que na verdade estamos tratando de um triângulo, já que uma das bases tem comprimento 0. Mas, de acordo com a descrição, vamos considerar que a área do trapezoide formado deve ser constante e igual a 2.
Passo 5
A fórmula da área de um trapézio é:
onde
e
são as bases e
é a altura.
Aplicando isso ao nosso caso:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando termos:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver. Vamos rearranjá-la para facilitar:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo que
):
Esse passo nos leva de volta à equação anterior, indicando que precisamos encontrar outra abordagem para resolver a equação diferencial.
Passo 8
Vamos tentar uma substituição. Suponha que
, onde
é constante. Substituindo na equação:
Isso não satisfaz a condição de área igual a 2. Portanto,
não é constante e precisamos procurar outra estratégia.
Passo 9
Vamos tentar separar variáveis. Retornando à equação:
Vamos reescrever para isolar
:
Então:
Passo 10
Agora, temos uma equação diferencial separável:
Vamos tentar separar as variáveis
e
:
No entanto, essa separação ainda não é direta. Vamos tentar uma substituição diferente ou considerar uma equação linear.
Passo 11
Observando a equação original, podemos tentar uma substituição simplificando a expressão. Seja
, então
. Mas isso não simplifica diretamente. Outra abordagem é multiplicar ambos os lados por
:
Vamos rearranjar:
Fatorando
:
Então:
Isso nos leva de volta ao passo anterior. Parece que precisamos resolver a equação diferencial:
Passo 12
Para resolver a equação diferencial, vamos tentar uma substituição. Defina
, então
. Mas isso não ajuda diretamente. Outra tentativa: suponha que
, então a equação fica:
Vamos tentar separar as variáveis:
Expandindo:
Rearranjando:
Pode-se tentar integrar ambos os lados, mas isso está ficando complicado. Talvez exista uma solução mais direta observando as condições da área.
Passo 13
Vamos reconsiderar a definição da área do trapézio. A área é 2, e a base maior é
, e a altura é
. Então:
Vamos rearranjar essa equação para isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Fatorando
:
Então:
Passo 14
Agora, temos uma forma um pouco diferente da equação diferencial. Vamos tentar separar as variáveis novamente:
Podemos reescrever isso como:
Distribuindo:
Agora, vamos rearranjar para isolar os termos com
:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Essa abordagem também não simplifica a resolução. Portanto, precisamos considerar outras técnicas para resolver essa equação diferencial.
Passo 15
Vamos tentar assumir uma forma funcional para
. Suponha que
, onde
é uma constante. Vamos verificar se essa solução satisfaz a equação.
Calculando
.
Substituindo na equação original:
Isso não é possível, então nossa suposição está errada. Portanto,
não é uma função linear.
Passo 16
Vamos tentar uma substituição diferente. Seja
, então
. Voltando à equação:
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos uma equação mais fácil de integrar:
Passo 17
Vamos integrar ambos os lados:
Como
é considerado constante em relação a
durante a integração, a primeira integral se torna:
E a segunda integral:
Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 18
Substituindo
:
Agora, vamos tentar isolar
:
Essa é a solução geral da equação diferencial que representa a família de curvas que satisfaz a condição dada na questão.
Resposta
A equação da família de curvas que satisfaz a condição de área igual a 2 é:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
[1 pt] Obtenha o rotacional
, realizando o produto vetorial (veja o Formulário). Mostre, detalhadamente, todas as suas contas.
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução
que satisfaça a condição inicial fornecida.