2,5 pt Seja o campo vetorial F(x, y, z) = (x i + y j + z k) / rho^3, onde rho = raiz(x^2 + y^2 + z^2). Mostre que o fluxo do campo F ao longo de uma esfera dada por x^2 + y^2 + z^2 = a^2 independe do raio da esfera.
Dica: Calcule o fluxo diretamente, pois não vale o Ieorema da Divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o fluxo do campo vetorial , onde , através de uma esfera não depende do raio da esfera. Para resolver isso, vamos calcular diretamente o fluxo usando a definição básica de fluxo no campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo é dado por:
Aqui, é o vetor normal à superfície , e é um elemento de área da superfície. No nosso caso, a superfície é a esfera de raio .

Passo 3

Para calcular o vetor normal na esfera, sabemos que em uma esfera centrada na origem, o vetor normal em qualquer ponto é simplesmente o vetor posição dividido pelo seu módulo. Ou seja:
Como a superfície é a esfera , o módulo é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Mas como na superfície da esfera, substituímos:

Passo 5

Agora, o fluxo fica:
Sabemos que a área da esfera é , então:

Resposta

O fluxo do campo através da esfera é e não depende do raio da esfera.

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