Seja o campo vetorial
, onde
. Mostre que o fluxo do campo
ao longo de uma esfera dada por
independe do raio da esfera.
Dica: Calcule o fluxo diretamente, pois não vale o Ieorema da Divergência.
Dica: Calcule o fluxo diretamente, pois não vale o Ieorema da Divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o fluxo do campo vetorial
, onde
, através de uma esfera
não depende do raio
da esfera. Para resolver isso, vamos calcular diretamente o fluxo usando a definição básica de fluxo no campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo
é dado por:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
, e
é um elemento de área da superfície. No nosso caso, a superfície
é a esfera de raio
.
Passo 3
Para calcular o vetor normal
na esfera, sabemos que em uma esfera centrada na origem, o vetor normal em qualquer ponto é simplesmente o vetor posição dividido pelo seu módulo. Ou seja:
Como a superfície é a esfera
, o módulo
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Mas como
na superfície da esfera, substituímos:
Passo 5
Agora, o fluxo
fica:
Sabemos que a área da esfera é
, então:
Resposta
O fluxo do campo
através da esfera
é
e não depende do raio
da esfera.
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial:
ou, utilizando a notação
:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a função
que satisfaça a condição inicial.
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
[1 pt] Obtenha o rotacional
, realizando o produto vetorial (veja o Formulário). Mostre, detalhadamente, todas as suas contas.