Seja o campo vetorial
, que corresponde à um gás escoando no espaço. Encontre a integral de fluxo exterior do campo
através da superfície de um cubo na região
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um campo vetorial dado por:
E precisamos encontrar a integral de fluxo exterior desse campo através da superfície de um cubo definido pelas inequações:
Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo sobre a superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo vetorial sobre o volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Calculando cada derivada parcial:
Então, a divergência é:
Passo 3
Segundo o Teorema da Divergência, a integral de fluxo exterior sobre a superfície do cubo é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume do cubo. Ou seja:
Portanto, precisamos calcular:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração para o cubo:
A integral tripla torna-se:
Note que a função integranda não depende de
ou
, então podemos simplificar a integração.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral se reduz a:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Então:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de fluxo exterior do campo
através da superfície do cubo é
.