Seja o campo vetorial , que corresponde à um gás escoando no espaço. Encontre a integral de fluxo exterior do campo através da superfície de um cubo na região

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um campo vetorial dado por:
E precisamos encontrar a integral de fluxo exterior desse campo através da superfície de um cubo definido pelas inequações:
Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo sobre a superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo vetorial sobre o volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Calculando cada derivada parcial:
Então, a divergência é:

Passo 3

Segundo o Teorema da Divergência, a integral de fluxo exterior sobre a superfície do cubo é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume do cubo. Ou seja:
Portanto, precisamos calcular:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para o cubo:
A integral tripla torna-se:
Note que a função integranda não depende de ou , então podemos simplificar a integração.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral se reduz a:

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :
Então:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Por último, integramos em relação a :

Resposta

A integral de fluxo exterior do campo através da superfície do cubo é .

Exercícios relacionados

Determine a equação da família de curvas tais que a área do trapézio (de base maior sobre o eixo , limitada pelos eixos coordenados, à tangente em um ponto genérico do primeiro quadrante e a reta paralela ao eixo passando por estes pontos) tenha área sempre igual a 2 .
[1 pt] Obtenha o rotacional , realizando o produto vetorial (veja o Formulário). Mostre, detalhadamente, todas as suas contas.
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução que satisfaça a condição inicial fornecida.
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução .