3,5 pt Seja o campo vetorial F(x, y, z) = (x cos²(y), sen²(x), z/2), que corresponde à um gás escoando no espaço. Encontre a integral de fluxo exterior do campo F através da superfície de um cubo na região 0 <= x <= pi, 0 <= y <= pi 0 <= z <= pi

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um campo vetorial dado por:
E precisamos encontrar a integral de fluxo exterior desse campo através da superfície de um cubo definido pelas inequações:
Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo sobre a superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo vetorial sobre o volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Calculando cada derivada parcial:
Então, a divergência é:

Passo 3

Segundo o Teorema da Divergência, a integral de fluxo exterior sobre a superfície do cubo é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume do cubo. Ou seja:
Portanto, precisamos calcular:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para o cubo:
A integral tripla torna-se:
Note que a função integranda não depende de ou , então podemos simplificar a integração.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral se reduz a:

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :
Então:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Por último, integramos em relação a :

Resposta

A integral de fluxo exterior do campo através da superfície do cubo é .

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