Seja
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos encontrar a derivada da função inversa de
no ponto 0, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função inversa
“desfaz” o que a função
faz. Ou seja, se
, então
.
Passo 3
Como queremos
, precisamos descobrir qual valor de
faz com que
. Vamos resolver a equação:
Passo 4
Para que uma fração seja igual a zero, o numerador precisa ser zero. Então, resolvemos
:
Isso significa que
, então
.
Passo 5
Agora, para encontrar a derivada da função inversa, usamos a fórmula:
No nosso caso,
, e já sabemos que
. Então precisamos calcular
.
Passo 6
Vamos calcular a derivada de
. A função é uma fração, então usamos a regra da derivada para quocientes:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos
na derivada:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada da função inversa: