Seja . Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar a derivada da função inversa de no ponto 0, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função inversa “desfaz” o que a função faz. Ou seja, se , então .

Passo 3

Como queremos , precisamos descobrir qual valor de faz com que . Vamos resolver a equação:

Passo 4

Para que uma fração seja igual a zero, o numerador precisa ser zero. Então, resolvemos :
Isso significa que , então .

Passo 5

Agora, para encontrar a derivada da função inversa, usamos a fórmula:
No nosso caso, , e já sabemos que . Então precisamos calcular .

Passo 6

Vamos calcular a derivada de . A função é uma fração, então usamos a regra da derivada para quocientes:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos na derivada:

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada da função inversa:

Resposta

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Sugestão: Faça .
Resp.:
Sabendo que , então é:
a.
b.
c. e
d. 1
e. 0
Calcule: (Cada item vale 1 pt A derivada de
Resolver as seguintes equaçòes:
(b) .
Resp.: .