Nos itens abaixo
é uma função de três variáveis, calcule
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de três variáveis:
. O assunto aqui é derivadas parciais, que são usadas quando a gente quer ver como a função muda em relação a uma variável específica, mantendo as outras constantes. Nesse exercício, a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, ou seja,
,
e
.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Isso significa que a gente vai derivar a função considerando
e
como constantes.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- Para
, a derivada em relação a é (usamos a regra do poder: trazer o expoente para frente e diminuir o expoente em 1). - Para
, como e são constantes, a derivada em relação a é . - Para
, também é , já que não tem .
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui,
e
são constantes.
Derivando cada termo:
- Para
, a derivada em relação a é , pois não tem . - Para
, a derivada em relação a é (a constante multiplicada pela derivada de , que é 1). - Para
, é , já que não tem .
Então:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui,
e
são constantes.
Derivando cada termo:
- Para
, a derivada em relação a é . - Para
, a derivada em relação a é . - Para
, a derivada em relação a é .
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(f) Conjunto de nível zero da função são círculos concêntricos.
(f) Conjunto de nível zero da função
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(a) é uma função positiva no intervalo
. O valor máximo de
é
.
(a)
[1 pt] Use o critério da convergência e mostre que a integral
é divergente.
Nos itens abaixo
é uma função de três variáveis, calcule
e