Nos itens abaixo é uma função de três variáveis, calcule e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de três variáveis: . O assunto aqui é derivadas parciais, que são usadas quando a gente quer ver como a função muda em relação a uma variável específica, mantendo as outras constantes. Nesse exercício, a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a , e , ou seja, , e .

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , que é . Isso significa que a gente vai derivar a função considerando e como constantes.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  • Para , a derivada em relação a é (usamos a regra do poder: trazer o expoente para frente e diminuir o expoente em 1).
  • Para , como e são constantes, a derivada em relação a é .
  • Para , também é , já que não tem .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, e são constantes.
Derivando cada termo:
  • Para , a derivada em relação a é , pois não tem .
  • Para , a derivada em relação a é (a constante multiplicada pela derivada de , que é 1).
  • Para , é , já que não tem .
Então:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, e são constantes.
Derivando cada termo:
  • Para , a derivada em relação a é .
  • Para , a derivada em relação a é .
  • Para , a derivada em relação a é .
Então:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

Exercícios relacionados

[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(f) Conjunto de nível zero da função são círculos concêntricos.
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(a) é uma função positiva no intervalo . O valor máximo de é .
[1 pt] Use o critério da convergência e mostre que a integral é divergente.
Nos itens abaixo é uma função de três variáveis, calcule e