[1.5 pts. ] Considere um circuito elétrico formado por um resistor, um indutor e uma fonte de tensão externa ligados em série. Suponha que a fonte externa tenha força eletromotriz, que oscila ao longo do tempo, dada por V(t) = 10 sen(t) volts, e que no circuito a resistência R seja 100 ohms e a indutância L seja 0,5 henrys. Encontre o valor da corrente elétrica I(t), em cada instante t, sabendo que I(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um circuito elétrico em série composto por um resistor, um indutor e uma fonte de tensão que varia com o tempo, especificamente volts. Os valores dados são a resistência ohms e a indutância henrys. A gente precisa descobrir como a corrente elétrica I(t) varia ao longo do tempo, sabendo que no instante inicial , a corrente .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RL série com uma fonte de tensão variável, a equação que descreve a corrente é dada pela Lei de Kirchhoff das Tensões:
Aqui, V(t) é a tensão da fonte, L é a indutância, R é a resistência, e é a derivada da corrente em relação ao tempo.

Passo 3

Substituindo os valores que conhecemos na equação:
Nossa meta agora é resolver essa equação diferencial para encontrar I(t).

Passo 4

Vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
Dividindo todos os termos por para simplificar:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante. A equação geral é:
Nesse caso, , , e . O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
Isso resulta em:
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Vamos resolver a integral . Para isso, usamos a fórmula de integração por partes ou reconhecemos que essa integral tem uma solução conhecida:
Aqui, e , então:
Simplificando:

Passo 9

Voltando à equação anterior:
Dividindo ambos os lados por para isolar I(t):

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C. Substituindo :
Como e , temos:

Passo 11

Substituindo C na expressão de I(t):
Podemos fatorar :

Resposta

A corrente elétrica no circuito em cada instante t é dada por:

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