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Considere um circuito elétrico formado por um resistor, um indutor e uma fonte de tensão externa ligados em série. Suponha que a fonte externa tenha força eletromotriz, que oscila ao longo do tempo, dada por
volts, e que no circuito a resistência
seja 100 ohms e a indutância
seja 0,5 henrys. Encontre o valor da corrente elétrica
, em cada instante
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um circuito elétrico em série composto por um resistor, um indutor e uma fonte de tensão que varia com o tempo, especificamente
volts. Os valores dados são a resistência
ohms e a indutância
henrys. A gente precisa descobrir como a corrente elétrica
varia ao longo do tempo, sabendo que no instante inicial
, a corrente
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RL série com uma fonte de tensão variável, a equação que descreve a corrente é dada pela Lei de Kirchhoff das Tensões:
Aqui,
é a tensão da fonte,
é a indutância,
é a resistência, e
é a derivada da corrente em relação ao tempo.
Passo 3
Substituindo os valores que conhecemos na equação:
Nossa meta agora é resolver essa equação diferencial para encontrar
.
Passo 4
Vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
Dividindo todos os termos por
para simplificar:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante. A equação geral é:
Nesse caso,
,
, e
. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a fórmula de integração por partes ou reconhecemos que essa integral tem uma solução conhecida:
Aqui,
e
, então:
Simplificando:
Passo 9
Voltando à equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
:
Como
e
, temos:
Passo 11
Substituindo
na expressão de
:
Podemos fatorar
:
Resposta
A corrente elétrica no circuito em cada instante
é dada por:
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).
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