Em t=0 um tubo de ensaio selado contendo um produto químico é imerso em um banho líquido. A temperatura inicial da substância química no tubo de ensaio é de 80 graus F. O banho de líquido tem uma temperatura controlada dada por T_M(t) = 100 - 40 e^(-0,1 t), t ≥ 0, em que t é medido em minutos.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está dizendo! Temos um tubo de ensaio selado com um produto químico que, no tempo inicial , está a uma temperatura de . Esse tubo é colocado dentro de um banho líquido cuja temperatura muda com o tempo, de acordo com a equação:
Aqui, representa a temperatura do banho líquido em função do tempo , medido em minutos. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda em relação ao ambiente ao seu redor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Resfriamento de Newton. Ela nos diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente . Matemáticamente, podemos escrever isso como:
Onde:
  • é a taxa de variação da temperatura do objeto.
  • é a constante de proporcionalidade positiva.
  • é a temperatura do objeto no tempo .
  • é a temperatura do ambiente no tempo .

Passo 3

No nosso caso, sabemos que . Queremos encontrar a temperatura do produto químico no tubo de ensaio ao longo do tempo.
Vamos substituir na equação da Lei de Resfriamento de Newton:
Simplificando:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando fatores integrantes ou outro método apropriado. Para simplificar, vamos reescrever a equação na forma padrão:
O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de :
Simplificando :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
Onde é a constante de integração. Calculando as integrais:
Portanto:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Para determinar a constante , usamos a condição inicial :
Resolvendo para :

Passo 8

Substituímos de volta na expressão de :
Essa é a solução geral para a temperatura do produto químico no tubo de ensaio ao longo do tempo, em termos da constante .

Resposta

A temperatura do produto químico no tubo de ensaio em função do tempo é dada por:
Onde é a constante da Lei de Resfriamento de Newton.

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