um tubo de ensaio selado contendo um produto químico é imerso em um banho líquido. A temperatura inicial da substância química no tubo de ensaio é de . O banho de líquido tem uma temperatura controlada dada por , em que é medido em minutos.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está dizendo! Temos um tubo de ensaio selado com um produto químico que, no tempo inicial , está a uma temperatura de . Esse tubo é colocado dentro de um banho líquido cuja temperatura muda com o tempo, de acordo com a equação:
Aqui, representa a temperatura do banho líquido em função do tempo , medido em minutos. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda em relação ao ambiente ao seu redor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Resfriamento de Newton. Ela nos diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente . Matemáticamente, podemos escrever isso como:
Onde:
  • é a taxa de variação da temperatura do objeto.
  • é a constante de proporcionalidade positiva.
  • é a temperatura do objeto no tempo .
  • é a temperatura do ambiente no tempo .

Passo 3

No nosso caso, sabemos que . Queremos encontrar a temperatura do produto químico no tubo de ensaio ao longo do tempo.
Vamos substituir na equação da Lei de Resfriamento de Newton:
Simplificando:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando fatores integrantes ou outro método apropriado. Para simplificar, vamos reescrever a equação na forma padrão:
O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de :
Simplificando :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
Onde é a constante de integração. Calculando as integrais:
Portanto:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Para determinar a constante , usamos a condição inicial :
Resolvendo para :

Passo 8

Substituímos de volta na expressão de :
Essa é a solução geral para a temperatura do produto químico no tubo de ensaio ao longo do tempo, em termos da constante .

Resposta

A temperatura do produto químico no tubo de ensaio em função do tempo é dada por:
Onde é a constante da Lei de Resfriamento de Newton.

Exercícios relacionados

pts. Obter a solução:
b) da ;
Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de . No instante , ela é imersa em água que é mantida a temperatura constante de . Ao fim de 3 minutos, a temperatura da esfera está reduzida a . Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a .
pt. Mostre que a função , definida por
é uma solução particular de ( ).
[1.5 pts. Considere um circuito elétrico formado por um resistor, um indutor e uma fonte de tensão externa ligados em série. Suponha que a fonte externa tenha força eletromotriz, que oscila ao longo do tempo, dada por volts, e que no circuito a resistência seja 100 ohms e a indutância seja 0,5 henrys. Encontre o valor da corrente elétrica , em cada instante , sabendo que .