um tubo de ensaio selado contendo um produto químico é imerso em um banho líquido. A temperatura inicial da substância química no tubo de ensaio é de
. O banho de líquido tem uma temperatura controlada dada por
, em que
é medido em minutos.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está dizendo! Temos um tubo de ensaio selado com um produto químico que, no tempo inicial
, está a uma temperatura de
. Esse tubo é colocado dentro de um banho líquido cuja temperatura muda com o tempo, de acordo com a equação:
Aqui,
representa a temperatura do banho líquido em função do tempo
, medido em minutos. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda em relação ao ambiente ao seu redor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Resfriamento de Newton. Ela nos diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto
e a temperatura do ambiente
. Matemáticamente, podemos escrever isso como:
Onde:
-
é a taxa de variação da temperatura do objeto. -
é a constante de proporcionalidade positiva. -
é a temperatura do objeto no tempo . -
é a temperatura do ambiente no tempo .
Passo 3
No nosso caso, sabemos que
. Queremos encontrar a temperatura
do produto químico no tubo de ensaio ao longo do tempo.
Vamos substituir
na equação da Lei de Resfriamento de Newton:
Simplificando:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando fatores integrantes ou outro método apropriado. Para simplificar, vamos reescrever a equação na forma padrão:
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de
:
Simplificando
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Onde
é a constante de integração. Calculando as integrais:
Portanto:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Para determinar a constante
, usamos a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituímos
de volta na expressão de
:
Essa é a solução geral para a temperatura
do produto químico no tubo de ensaio ao longo do tempo, em termos da constante
.
Resposta
A temperatura do produto químico no tubo de ensaio em função do tempo é dada por:
Onde
é a constante da Lei de Resfriamento de Newton.