pts. Obter a solução:
c) da EDO linear homogênea de ordem 8, com coeficientes constantes, cujas raízes da equação característica são e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea de ordem 8 com coeficientes constantes. Isso significa que a equação tem a forma geral:
Para resolver isso, precisamos das raízes da equação característica associada. As raízes dadas são:
(trípla raiz real)
(raiz real simples)
(dupla raiz complexa)
(conjugadas das anteriores)
Vamos usar essas raízes para construir a solução geral da EDO.
Passo 2
Primeiro, lembrando que para cada raiz real com multiplicidade , temos soluções da forma:
No nosso caso, a raiz tem multiplicidade 3, então vamos ter três soluções associadas a ela:
Passo 3
Também temos a raiz real com multiplicidade 1. Então, a solução correspondente é:
Passo 4
Agora, para as raízes complexas e , usamos a fórmula que combina exponencial e funções trigonométricas:
Como cada uma dessas raízes complexas tem multiplicidade 2 (incluindo suas conjugadas), teremos duas soluções para cada par conjugado:
Resposta
Então, juntando todas as soluções, a solução geral da EDO é:
Onde são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.