2.5 pts. ] Obter a solução:
c) da EDO linear homogênea de ordem 8, com coeficientes constantes, cujas raízes da equação característica são r1 = r2 = r3 = alpha, r4 = -alpha, r5 = r6 = alpha + beta * i e r7 = r8 = r5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea de ordem 8 com coeficientes constantes. Isso significa que a equação tem a forma geral:
Para resolver isso, precisamos das raízes da equação característica associada. As raízes dadas são:
  • (trípla raiz real)
  • (raiz real simples)
  • (dupla raiz complexa)
  • (conjugadas das anteriores)
Vamos usar essas raízes para construir a solução geral da EDO.

Passo 2

Primeiro, lembrando que para cada raiz real com multiplicidade , temos soluções da forma:
No nosso caso, a raiz tem multiplicidade 3, então vamos ter três soluções associadas a ela:

Passo 3

Também temos a raiz real com multiplicidade 1. Então, a solução correspondente é:

Passo 4

Agora, para as raízes complexas e , usamos a fórmula que combina exponencial e funções trigonométricas:
Como cada uma dessas raízes complexas tem multiplicidade 2 (incluindo suas conjugadas), teremos duas soluções para cada par conjugado:

Resposta

Então, juntando todas as soluções, a solução geral da EDO é:
Onde são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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