Dada a série
, quantos primeiros termos da série devemos somar na série para garantir que que o erro desta aproximação seja menor que 0,01 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quantos primeiros termos da série
precisamos somar para que o erro dessa aproximação seja menor que 0,01. Isso envolve conceitos de séries infinitas e como estimar o erro ao somar apenas uma parte dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender um pouco sobre a série
. Essa série é infinita, ou seja, tem um número ilimitado de termos. Nosso objetivo é somar os primeiros
termos dessa série e garantir que a soma dos termos restantes (o erro) seja menor que 0,01.
Passo 3
Para estimar o erro, podemos usar uma comparação com uma integral ou observar o comportamento dos termos da série. Mas uma forma mais simples é perceber que os termos da série são positivos e decrescentes. Assim, podemos usar a comparação com uma série p, onde
. No nosso caso,
, que é uma série convergente.
Passo 4
Vamos agora encontrar uma expressão para o erro. O erro
ao somar os primeiros
termos é dado por:
Precisamos que
.
Passo 5
Para simplificar, notamos que
. Assim, podemos estimar:
Essa é uma série telescópica que simplifica para:
Passo 6
Queremos que
. Resolvendo essa desigualdade:
Resposta
Portanto, precisamos somar os 100 primeiros termos da série
para garantir que o erro da aproximação seja menor que 0,01.