[1,0 pts] Dada a série sumn=1^infty 1n^2-1, quantos primeiros termos da série devemos somar na série para garantir que que o erro desta aproximação seja menor que 0,01 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quantos primeiros termos da série precisamos somar para que o erro dessa aproximação seja menor que 0,01. Isso envolve conceitos de séries infinitas e como estimar o erro ao somar apenas uma parte dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender um pouco sobre a série . Essa série é infinita, ou seja, tem um número ilimitado de termos. Nosso objetivo é somar os primeiros termos dessa série e garantir que a soma dos termos restantes (o erro) seja menor que 0,01.

Passo 3

Para estimar o erro, podemos usar uma comparação com uma integral ou observar o comportamento dos termos da série. Mas uma forma mais simples é perceber que os termos da série são positivos e decrescentes. Assim, podemos usar a comparação com uma série p, onde . No nosso caso, , que é uma série convergente.

Passo 4

Vamos agora encontrar uma expressão para o erro. O erro EN = sumn=N+1^infty 1n^2-1 ao somar os primeiros termos é dado por:
Precisamos que .

Passo 5

Para simplificar, notamos que EN < sumn=N+1^infty 1n(n-1) = sumn=N+1^infty ( 1n-1 - 1n ) . Assim, podemos estimar:
EN < 1N
Essa é uma série telescópica que simplifica para:

Passo 6

Queremos que 1N < 0,01 implies N > 100 . Resolvendo essa desigualdade:

Resposta

Portanto, precisamos somar os 100 primeiros termos da série para garantir que o erro da aproximação seja menor que 0,01.

Exercícios relacionados