Dada a série , quantos primeiros termos da série devemos somar na série para garantir que que o erro desta aproximação seja menor que 0,01 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quantos primeiros termos da série precisamos somar para que o erro dessa aproximação seja menor que 0,01. Isso envolve conceitos de séries infinitas e como estimar o erro ao somar apenas uma parte dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender um pouco sobre a série . Essa série é infinita, ou seja, tem um número ilimitado de termos. Nosso objetivo é somar os primeiros termos dessa série e garantir que a soma dos termos restantes (o erro) seja menor que 0,01.

Passo 3

Para estimar o erro, podemos usar uma comparação com uma integral ou observar o comportamento dos termos da série. Mas uma forma mais simples é perceber que os termos da série são positivos e decrescentes. Assim, podemos usar a comparação com uma série p, onde . No nosso caso, , que é uma série convergente.

Passo 4

Vamos agora encontrar uma expressão para o erro. O erro ao somar os primeiros termos é dado por:
Precisamos que .

Passo 5

Para simplificar, notamos que . Assim, podemos estimar:
Essa é uma série telescópica que simplifica para:

Passo 6

Queremos que . Resolvendo essa desigualdade:

Resposta

Portanto, precisamos somar os 100 primeiros termos da série para garantir que o erro da aproximação seja menor que 0,01.

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Encontre o intervalo de convergência da série
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Obtenha os trê três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de e use os mesmos para aproximar .