Encontre o intervalo de convergência da série

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série . Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa série dá certo, ou seja, não “explode” para infinito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bacana para séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência da série. A ideia é calcular o limite quando tende ao infinito da razão entre o termo e . Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, temos:
Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos simplificar esse limite:
Observamos que, quando é muito grande, os termos constantes (24 e 29) ficam menos significativos. Então:
Portanto, o limite fica:

Passo 4

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
Isso significa que a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1. Então, o intervalo de convergência inicialmente é .

Passo 5

Mas precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
A série se torna:
Essa é uma série do tipo , que é divergente.
Para :
A série se torna:
Essa é uma série alternada. Para aplicar o Teste da Série Alternada, verificamos se os termos tendem a zero e se são decrescentes. Como sim, a série converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Escreva na forma .
Dada a série , quantos primeiros termos da série devemos somar na série para garantir que que o erro desta aproximação seja menor que 0,01 .