Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série . Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa série dá certo, ou seja, não “explode” para infinito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bacana para séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência da série. A ideia é calcular o limite quando tende ao infinito da razão entre o termo e . Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, temos:
Vamos calcular :
Passo 3
Agora, vamos simplificar esse limite:
Observamos que, quando é muito grande, os termos constantes (24 e 29) ficam menos significativos. Então:
Portanto, o limite fica:
Passo 4
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
Isso significa que a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1. Então, o intervalo de convergência inicialmente é .
Passo 5
Mas precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
A série se torna:
Essa é uma série do tipo , que é divergente.
Para :
A série se torna:
Essa é uma série alternada. Para aplicar o Teste da Série Alternada, verificamos se os termos tendem a zero e se são decrescentes. Como sim, a série converge.