[1,0 pts] Encontre o intervalo de convergência da série sumn=1^infty 2 x^n5 n+24

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série . Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa série dá certo, ou seja, não “explode” para infinito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bacana para séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência da série. A ideia é calcular o limite quando an = 2x^n5n + 24 tende ao infinito da razão entre o termo limn to infty | 2x^n+15(n+1) + 24 cdot 5n + 242x^n | = limn to infty | x cdot 5n + 245n + 29 | e . Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, temos:
Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos simplificar esse limite:
limn to infty | x cdot 5n + 245n + 29 | = |x| cdot limn to infty 5n + 245n + 29
Observamos que, quando limn to infty 5n + 245n + 29 = 5n5n = 1 é muito grande, os termos constantes (24 e 29) ficam menos significativos. Então:
|x| cdot 1 = |x|
Portanto, o limite fica:

Passo 4

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
|x| < 1
Isso significa que a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1. Então, o intervalo de convergência inicialmente é .

Passo 5

Mas precisamos verificar os pontos finais sumn=1^infty 2 cdot 1^n5n + 24 = sumn=1^infty 25n + 24 e sumn=1^infty 2 cdot (-1)^n5n + 24 para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
A série se torna:
Essa é uma série do tipo , que é divergente.
Para :
A série se torna:
Essa é uma série alternada. Para aplicar o Teste da Série Alternada, verificamos se os termos tendem a zero e se são decrescentes. Como sim, a série converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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