Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma sequência definida por e precisamos descobrir se essa sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, também queremos saber o limite dela quando vai para o infinito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender qual termo da expressão domina quando fica bem grande. Isso ajuda a identificar o comportamento da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada termo na expressão quando cresce:
  • Numerador:
  • Denominador:
Quando aumenta, termos exponenciais como , e crescem muito mais rápido que termos polinomiais como . Assim, podemos focar nos termos exponenciais para simplificar nossa análise.

Passo 3

Agora, vamos identificar qual termo cresce mais rapidamente no denominador. A gente tem e . Entre esses, cresce mais rápido porque a base 4 é maior que 3. Então, quando é grande, vai dominar o denominador.
Assim, nossa expressão pode ser aproximada por:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito. Sabemos que se a base da exponencial for maior que 1, então cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.

Resposta

A sequência é divergente e tende a quando cresce.

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Encontre o intervalo de convergência da série
Escreva na forma .