Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma sequência definida por
e precisamos descobrir se essa sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, também queremos saber o limite dela quando
vai para o infinito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender qual termo da expressão domina quando
fica bem grande. Isso ajuda a identificar o comportamento da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada termo na expressão quando
cresce:
- Numerador:
- Denominador:
Quando
aumenta, termos exponenciais como
,
e
crescem muito mais rápido que termos polinomiais como
. Assim, podemos focar nos termos exponenciais para simplificar nossa análise.
Passo 3
Agora, vamos identificar qual termo cresce mais rapidamente no denominador. A gente tem
e
. Entre esses,
cresce mais rápido porque a base 4 é maior que 3. Então, quando
é grande,
vai dominar o denominador.
Assim, nossa expressão
pode ser aproximada por:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito. Sabemos que se a base da exponencial
for maior que 1, então
cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.
Resposta
A sequência é divergente e tende a
quando
cresce.
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