Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a sequência
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa achar o limite dessa sequência. Isso está no tópico de sequences e limites em matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento das funções quando
cresce sem parar, ou seja, tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos graus do numerador e do denominador dessa fração. No numerador, temos
, que é um polinômio de grau 2. No denominador, temos
, onde o termo dominante é
, que é de grau 5.
Passo 3
Quando analisamos o limite de uma fração como essa quando
tende ao infinito, o comportamento da sequência é dominado pelos termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador. Ou seja, podemos simplificar a análise focando apenas nesses termos principais:
Aqui,
tende a zero quando
aumenta sem limite.
Passo 4
Como o limite da sequência tende a zero, isso significa que a sequência
é convergente e seu limite é 0.
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é
.
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