Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa achar o limite dessa sequência. Isso está no tópico de sequences e limites em matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento das funções quando cresce sem parar, ou seja, tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos graus do numerador e do denominador dessa fração. No numerador, temos , que é um polinômio de grau 2. No denominador, temos , onde o termo dominante é , que é de grau 5.

Passo 3

Quando analisamos o limite de uma fração como essa quando tende ao infinito, o comportamento da sequência é dominado pelos termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador. Ou seja, podemos simplificar a análise focando apenas nesses termos principais:
Aqui, tende a zero quando aumenta sem limite.

Passo 4

Como o limite da sequência tende a zero, isso significa que a sequência é convergente e seu limite é 0.

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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