1,5 pts A função y = f(x) é diferenciável dada implicitamente por y^3 + x y^2 = x + 7. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 3,1.

Passo 1

Vamos resolver um problema de derivação implícita envolvendo a função . A equação dada é . Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Para isso, vamos precisar usar a técnica de derivação implícita para encontrar a derivada e, em seguida, utilizar essa derivada para determinar a inclinação da reta tangente no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então ao derivar termos que envolvem , usaremos a regra da cadeia.

Passo 3

Agora, organizamos os termos que têm :
Fatorando :
Isolando :

Passo 4

Agora, substituímos as coordenadas do ponto na expressão para :
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto é , ou seja, a reta é horizontal.

Resposta

A equação da reta tangente é .

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