Seja
Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de ;

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função . Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função tanto próximo de valores específicos de (para assíntotas verticais) quanto quando vai para o infinito (para assíntotas horizontais).

Passo 2

Vamos começar procurando as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é zero, já que a função não está definida nesses pontos. Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Resolvendo:
Portanto, temos possíveis assíntotas verticais em e .

Passo 3

Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o limite da função quando tende ao infinito e ao menos infinito. Observamos os graus do polinômio no numerador e no denominador. Ambos são de segundo grau ( ), então a assíntota horizontal será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Os coeficientes de no numerador e no denominador são 1 e 1, respectivamente. Mas atenção: o denominador é , que podemos reescrever como , então o coeficiente de é 1.
Então, o limite quando vai para o infinito é:
Portanto, temos uma assíntota horizontal em .

Resposta

A função possui:
  • Assíntotas Verticais em e .
  • Assíntota Horizontal em .

Exercícios relacionados

Derive as funções abaixo: pts]
Seja
Encontre, caso existam, os pontos de máximo e de mínimo locais da , os intervalos onde é crescente e onde é decrescente;
Calcule os limites:
A função é diferenciável dada implicitamente por . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .