Seja . Esboce o gráfico de depois de
especificar o domínio da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa desenhar o gráfico dela. Primeiro, vamos entender o que isso significa: estamos lidando com uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para desenhar o gráfico, precisamos saber o domínio da função, que é o conjunto de todos os valores de que deixam a função definida. Vamos precisar entender onde a função pode ou não existir para começar a esboçar o gráfico.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função. O domínio são todos os valores de que não deixam o denominador igual a zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, temos:
Então, o domínio de é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função para facilitar o entendimento:
Isso ajuda a ver como a função se comporta para diferentes valores de .

Passo 4

Vamos identificar as assimptotas da função, que são linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca:
  1. Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero, ou seja, em .
  2. Assíntota horizontal: Observando o comportamento de quando tende ao infinito, temos:
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Vamos agora encontrar os pontos de interseção com os eixos:
  1. Interseção com o eixo y: Quando , mas como está fora do domínio, não há interseção com o eixo y.
  2. Interseção com o eixo x: Encontramos quando :
Então, a função cruza o eixo x em .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função:
  • Para :
    • Quando aumenta, tende a zero pela assíntota horizontal.
    • A função passa por e é positiva.
  • Para :
    • Quando diminui (em valor absoluto aumentando), também tende a zero pela assíntota horizontal.
    • A função é positiva, pois tanto o numerador quanto o denominador são positivos (já que é sempre positivo).

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função tem uma assíntota vertical em e uma horizontal em .
  • Passa pelo ponto .
  • Para , a função está acima do eixo x e se aproxima de conforme aumenta.
  • Para , a função também está acima do eixo x e se aproxima de conforme diminui.

Resposta

O gráfico da função possui uma assíntota vertical em , uma assíntota horizontal em , e passa pelo ponto . Para e , a função está acima do eixo x e se aproxima de conforme aumenta. O domínio da função é todos os números reais exceto .

Exercícios relacionados

Calcule os limites:
A função é diferenciável dada implicitamente por . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Seja
pt Determine o domínio da função , e caso existam, as interseções da função com os eixos coordenados;
Determine valor dos limites abaixo: