Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
especificar o domínio da função
especificar o domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa desenhar o gráfico dela. Primeiro, vamos entender o que isso significa: estamos lidando com uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para desenhar o gráfico, precisamos saber o domínio da função, que é o conjunto de todos os valores de
que deixam a função definida. Vamos precisar entender onde a função pode ou não existir para começar a esboçar o gráfico.
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que não deixam o denominador igual a zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, temos:
Então, o domínio de
é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função para facilitar o entendimento:
Isso ajuda a ver como a função se comporta para diferentes valores de
.
Passo 4
Vamos identificar as assimptotas da função, que são linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca:
-
Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero, ou seja, em
. -
Assíntota horizontal: Observando o comportamento de
quando tende ao infinito, temos:
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Vamos agora encontrar os pontos de interseção com os eixos:
-
Interseção com o eixo y: Quando
, mas como está fora do domínio, não há interseção com o eixo y. -
Interseção com o eixo x: Encontramos quando
:
Então, a função cruza o eixo x em
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função:
-
Para
: - Quando
aumenta, tende a zero pela assíntota horizontal. - A função passa por
e é positiva.
- Quando
-
Para
: - Quando
diminui (em valor absoluto aumentando), também tende a zero pela assíntota horizontal. - A função é positiva, pois tanto o numerador quanto o denominador são positivos (já que
é sempre positivo).
- Quando
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função tem uma assíntota vertical em
e uma horizontal em . - Passa pelo ponto
. - Para
, a função está acima do eixo x e se aproxima de conforme aumenta. - Para
, a função também está acima do eixo x e se aproxima de conforme diminui.
Resposta
O gráfico da função
possui uma assíntota vertical em
, uma assíntota horizontal em
, e passa pelo ponto
. Para
e
, a função está acima do eixo x e se aproxima de
conforme
aumenta. O domínio da função é todos os números reais exceto
.
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Calcule os limites:
Seja
pt
Determine o domínio da função
, e caso existam, as interseções da função com os eixos coordenados;
Determine
valor dos limites abaixo: