Calcule os limites: lim (x, y) (0,0) x raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema faz parte do estudo de limites de funções de duas variáveis, onde precisamos entender o comportamento da função quando e se aproximam de zero ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise quando lidamos com funções envolvendo .

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas x = r cos(theta) para coordenadas polares y = r sin(theta) . Nas coordenadas polares, temos:
E . Essa substituição simplifica a expressão do limite.

Passo 3

Substituindo x raizx^2+y^2 = (r cos(theta)) cdot r = r^2 cos(theta) e limr to 0 r^2 cos(theta) na função original, temos:
Agora, o limite em coordenadas polares fica:

Passo 4

Analisando o limite , percebemos que é uma função limitada, ou seja, seu valor está sempre entre e . Então, o comportamento do limite depende principalmente de quando se aproxima de zero.

Passo 5

Como tende a zero quando tende a zero, multiplicado por , que é finito, o produto inteiro tende a zero. Não importa o valor de , porque vai dominar e levar o resultado a zero.

Resposta

lim (x, y) (0,0) x raizx^2+y^2 = 0

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